Оптимальный линейный подоходный налог

Задача по ряду параметров аналогична налоговой модели Рамсея. В частности, у нас нет оснований ожидать, что задача будет себя хорошо вести, и нам нужно осторожно применять условия первого порядка.

Имея в виду эти ограничения, мы можем исследовать последствия. Наш прежний опыт с задачей Рамсея подсказывает, что при-

менение соотношения Слуцкого могло бы быть очень показательно

ЭL              „              т BL

= wSи Wl Л1/5

(13-33)

dt LL ЭЛТ

где SLL — подстановочный элемент (компенсированная реакция рабочей силы на маржинальную чистую заработную плату) и не является отрицательным. Используя это и тот факт, что BU/Эг = - awL, где а — частная маржинальная полезность дохода, мы можем преобразовать (13-32)

\

Ш' i* . fyy _ 1

X ЗМ

dF= О

(13-34а)

twS,

BL

„ос

fwL

LL

dF= 0.

х?- + tw — - 1 + X ЭМ

(13-34b)

Если мы теперь определим, как в предьщущей лекции, чистую социальную маржинальную величину дохода

а _ ш' ® i «М.

(13-35)

X ЬМ ’

6=1

то условия сводятся к Диксит и Сандмо [Dixit and Sandmo, 1977]; Стиглиц [Stiglitz, 1976а]

(13-36а)

t - cov [6,2\ l~f ?ZzLLdF              (13-36b)

Во втором равенстве cov [ ] означает ковариантность, a eLI — компенсированную эластичность ([w (1 - f)/L] SLI)1. Интерпретируя данные условия, мы предполагаем, что Z — неубывающая функция w, так что ковариантность является неположительной, если социальная маржинальная оценка дохода не нарастает с w.

7 Производную можно получить, преобразовав (13-34Ь),

*+-?-r,euV=o

где мы использовали тот факт, что Ь-\.

Ковариантность можно рассматривать как маржинальную меру неравенства [Стиглиц (Stiglitz, 1976с)].

Условия (13-36а) и (13-36Ь) имеют очень естественную интерпретацию. Первое из них гласит, что единовременный элемент (единовременный налог. — Прим. ред.) должен быть скорректирован так, что b — чистая социальная маржинальная оценка перевода одного доллара дохода (измеренного с точки зрения правительственного дохода) должна в среднем равняться стоимости (одному доллару). Второе показывает, что налог зависит от эластичности компенсированного предложения рабочей силы и от того, как маржинальная социальная величина дохода изменяется с w. Эти два фактора выглядят именно так, как мы могли бы ожидать на основе Лекции 12. При интерпретации условия (13-36Ь) знаменатель является положительным (поскольку SLL gt; 0), но числитель может быть отрицательным. В частности, это зависит от ЪЪ/дМ, и если досуг становится менее ценным товаром при высокой заработной плате, тогда возможно, что между Ъ и Z существует положительная корреляция.

Пример

Чтобы проиллюстрировать этот анализ, давайте возьмем случай функции полезности Кобба—Дугласа:

U(Yf L) — a log У+(1 - д) log (1 - L),              (13-37)

где 0 lt; а lt; 1. Предложение рабочей силы может быть получено из условий первого порядка для максимизации полезности. Из (13- 26), используя бюджетное ограничение для замещения Y

aw(\ -f)              1-а              r              л

— - -              или              z;—- ^              1 - а И Z = 0.

w(\ -f) L + G 1 - L              G

Отсюда

(1 - a) G              1              -              a              G ,

в иных случаях 1 = 0.              (13-38)

Из этого следует, что чистая социальная маржинальная оценка Дохода дается через

= Ч/'^ для wlt;, w0,

так что b прерывисто движется вниз к vv0.

Влияние различных распределительных целей можно наблюдать на примере члена fac различными степенями вогнутости для Ч*. В экстремальном случае роулсианской цели решение относительно просто. Если мы предположим, что распределение имеет строго позитивную плотность при всех неотрицательных w (так что всегда имеются отдельные не работающие индивидуумы), то задача тогда сводится к максимизации G. Составим Лагранжан

(13-40)

J=G+X? (twL - G-Rq) dF.

o

Условия первого порядка в отношении t дают

(13-41)

(это напрямую следует из (13-32Ь), если мы отметим, что BU/Bt-0 для всех w, для которых Ч*' Ф 0). Используя ограничение правительственных поступлений,

В случае Кобба-Дугласа из (13-38) мы получаем

Отсюда

wdL (1 - a) G

і2 Jl + Ro/G) 1 (l-o2              1-а              I              -              F(w0)‘              (13-43)

Когда поступления, которые нужно увеличить, являются неотрицательными (R, gt; 0), тогда правая сторона больше единицы. Существует множество решений этого уравнения (отметим, что w зависит от Си /), но все они должны быть такими, чтобы налоговая ставка составляла как минимум 50%. С этой роул- сианской целью оптимальные маржинальные налоговые ставки могут, таким образом, быть довольно высокими.

Упражнение 13-3. Исследуйте оптимальный линейный налог, где R, = 0 и распределение имеет паретовскую форму (13-21). Получите условия, при которых существует решение, когда все работают (w0 lt; w) в роулсианском случае, и подсчитайте оптимальный уровень налога.

Числовые подсчеты

Только что описанная модель является всего лишь иллюстративной. Помимо всего прочего, функция полезности Кобба- Дугласа может давать неверное представление об эластичности предложения рабочей силы. Стерн [Stem, 1976] исследовал данный аспект, стремясь связать литературу по оптимальному уровню налогов с оценкой функции предложения рабочей силы, относящейся к тому типу, который мы обсуждали в Лекции 2. С этой целью он взял функцию постоянной эластичности

и= [б1^ Г + (1 - б)1-* (1 - где р lt; 1.              (1з_44)

Это можно считать специальным случаем для функции, рассмотренной в Лекции 12 (Гявляется составляющей всех товаров, и понесенные затраты равны нулю). Как и там, а= 1/(1 -р) является эластичностью замещения, и в только что рассмотренном случае Кобба-Дугласа р = 0. На основе эмпирических результатов, полученных Эшенфелтером и Хекманом [Ashenfelter and Heckman, 1973], Стерн оценил, что с = 0.408. Это балльная оценка, полученная в ходе одного из исследований и связанная с часами, отработанными мужчинами — главами семей в США. Его изучение чувствительности оценки, основанное на стандартной погрешности и на других исследованиях для аналогичных популяций, показывает, что диапазон 0,2—0,6 может быть вполне разумным[182].

Стерн формулирует задачу с точки зрения правительства, выбирающего Си/ для того, чтобы максимизировать

(13-45)

(опять же предел, поскольку V -gt; 1 является логарифмическим примером) в зависимости от ограничения по поступлениям. Предполагается, что распределение является логнормальным со стандартным отклонением логарифмов, равным 0,39 (в основном наборе результатов). Это подразумевает для с = 1 логнормальное распределение доходов с коэффициентом Джини, равным 0,22. Максимумы для различных величин a, v и Д, были получены через процедуру поиска по решетке[183]..

В табл. 13-2 приведен набор результатов. Они подтверждают наши предыдущие выводы относительно различных форм функции социального благосостояния. При v = 0 мы получаем утилитарную цель Бентама. Для более высоких величин v функция явля-ется более вогнутой, и оптимальные налоговые ставки ярко выра-женно повышаются для всех величин а. Для v -gt; °° (случай Роулса) все налоговые ставки превышают 50%. Обращаясь к проблеме, особенно заботящей Стерна, т.е. роли эластичности замещения, мы видим, что взаимоотношение между а и налоговой ставкой не является монотонным. Однако заметно, что налог для его предпочтительной величины а = 0,4 (с одним исключением) выше, чем в случае Кобба—Дугласа (о = 1,0), и что для всех столбцов, кроме первого, различия весьма существенны. При v = 2 и Rq — 0, например, налоговая ставка равна 29% для а = 1 и 48% для а = 0,4 (и 39—63% для диапазона а = 0,2—0,6). Как указывает автор, данный подход «дает достаточно высокие налоговые ставки • без какого-либо обращения к экстремальным функциям социального благосостояния» (Стерн ([Stem, 1976, с. 152]). Еще одной отличительной чертой является воздействие возрастающих требований относительно доходов. При              = 0,05, что соответствует

Таблица 13-2.

Подсчет Стерна оптимальных линейных налоговых ставок (%)

поглощению правительством примерно 20% ВНП, налоговые ставки повышаются примерно на 5%.

Эти подсчеты важны тем, что они оценивают возможную чувствительность результатов к формулировке модели, а также тем, что они указывают на параметры, которые могут иметь ключевое значение. Однако они и не должны были иметь реалистичный характер, и Стерн осторожно оценивает сделанные выводы. Результаты могут существенно измениться при иных допущениях относительно спроса на рабочую силу. Интерпретация предложения рабочей силы с точки зрения отработанных часов вызывает ряд вопросов. В той мере, в какой она не принимает во внимание другие измерения трудового усилия (обсуждавшиеся в Лекции 2), это вполне может означать, что о = 0,4 недооценивает подлинную эластичность.

Это подводит нас к последнему замечанию — данная политика разрабатывается в условиях значительной неопределенности относительно ключевых параметров. Неопределенность, окружающая а и другие параметры, должна быть четко инкорпорирована в анализ оптимальных налоговых ставок. Это не было сделано в описанных выше исследованиях, но подсчеты роста благосостояния благодаря перераспределительному налогообложению, измеренные в эквиваленте равно распределенного потребления, проведенные Стерном, проливают определенный свет на проблему. Выраженная в виде функции налоговой ставки, кривая уровня благосостояния имеет относительно плоский ВИД ДЛЯ V = 0, но по мере роста V она становится все более устремленной вверх [Стерн (Stem, 1976, рис. За, Ь)]. Можно предположить, что уменьшение неопределенности относительно а оказывается важнее, когда правительство озабочено распределением в большей степени, но данный вопрос надо изучить подробнее.