Проблема «Деньги-время». Временная стоимость денег. Дисконтирование. Понятие и виды процентных ставок. Виды и методы начисления процентов

Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределённость во времени. В случае длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьёзная проблема обеспечения сопоставимости данных.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует ещё как МИНимУм три важнейшие причины данного экономического феномена. Во- еРвых, сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска

получения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток Времени

* отделяющий получателя денег от этого “завтра”. Во-вторых,

располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект мояо вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то; время как получатель будущих денег лишен этой возможности.

Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времеї (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себз риску их невозврата, но и несёт реальные экономические потери в фор] неполученных доходов от инвестирования. Кроме того снижается ез платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамеї денег, имеют более низкую ликвидность, чем “живые” деньги. То есть кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причз положительного временного предпочтения.

Количественной мерой величины этого возмещения является процентт ставка. С её помощью может быть определена как будущая стоимос' “сегодняшних” денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящі (современная, текущая или приведённая) стоимость “завтрашних” денег например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставз товаров или оказания услуг. В первом случае говорят об операции наращен поэтому будущую стоимость денег часто называют наращённой. Во второ) случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к современной величине (текущему моменту) - отсюда тер] дисконтированная, приведённая или текущая стоимость.              I

Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятий так как с ними приходится сталкиваться довольно часто, беря или давая денЫ! взаймы. Однако для финансового менеджмента значительно более важяц значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будуй#

стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределённых по времени платежей. В принципе, дисконтирование это наращение “наоборот”, однако для финансовых расчётов важны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами).

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например рублях) и обозначается I.

з =

р              р              (і).

Можно заметить, что формула расчёта процентной ставки идентична расчету статистического показателя “темп прироста”. Действительно, если абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста перовначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется декурсивным методом начисления процентов.

Кроме процентной существует учётная ставка d (другое название - ставка Дисконта), величина которой определяется по формуле:

f              S              (2),

где D - сумма дисконта.

Сравнивая формулы (1) и (2), можно заметить, что сумма процентов I и Дичина дисконта D определяются одинаковым образом - как разница между УДУЩей и современной стоимостями. Однако смысл, вкладываемый в эти

термины, неодинаков. Если в первом случае речь идет о приросте текущед стоимости, своего рода “наценке”, то во втором определяется снижен^ будущей стоимости, “скидка” с её величины. (Diskont в переводе с немецкого] означает “скидка”). Неудивительно, что основной областью применение учётной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению j начислению процентов. Тем не менее иногда она используется и дд наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах.

При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простыв так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращен® первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, a npj начислении сложных процентов - в геометрической. Вначале более подроби рассмотрим операции с простыми процентами.

Начисление простых декурсивных и антисипативных процент^ производится по различным формулам:

декурсивные проценты : *** Р х (1 +Н х I), |              ^

-fr.Px * ...

антисипативные проценты:              1              пха ,              (4),

где п - продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (| называются множителями наращения простых процентов: (1 + ni) - мной наращения декурсивных процентов; 1 / (1 - nd) - множитель наращен антисипативных процентов.

Например, ссуда в размере 1 млн рублей выдается сроком на 0,5 года nd 30% годовых. В случае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) буд| равна 1,15 млн рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I' 0,15 млн рублей (1,15 - 1). Если же начислять проценты по антисипативноіі методу, то наращенная величина (Sd) составит 1,176 млн рублей (1 * (1 / (1 ~ lt;

*              0,3),              а              сумма              процентов              (D)              0,176              млн рублей. Наращение

антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем і использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод Д^

начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

Вообще начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной операции - дисконтирования - имеет оттенок некой “неестественности” и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С позиции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем:

^ S d

2 = ?fx-~=               j-

Р 1-nxd              (5)

Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как по формуле (3), так и по формуле (4).

Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат. То есть, нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом ai = Р и разностью d = (Р * і).

Р, Р + (Р * і), р + 2 * (Р * і), р + 3 * (Р * і),..., Р + (к - 1) * (Р * і)

Наращенная сумма S есть не что иное как последний k-й член этой прогрессии (S = ак = Р + п * Р * і), срок ссуды п равен к - 1. Поэтому, если Увеличить п и одновременно пропорционально уменьшить і, то величина ажДого члена погрессии, в том числе и последнего, останется неизменной.

Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции,

аНН°й с начислением процентов) п не обязательно должна равняться году

или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае! возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой К (это| показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет ц можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

Рх (l + І-хз) I

для декурсивных процентов:              I              (6),

«S'* Рх 1

1-4

для антисипативных процентов:              amp;              ,              (7).

Если временная база (К) принимается равной 365 (366) дням, то проценті называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят lt; коммерческих или обыкновенных процентах. В свою очередь подсчі длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят продолжительности года в 360 дней, или точным - по календарю или специальной таблице номеров дней в году. Определяя приближе: продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Обі для всех способов подсчёта является правило: день выдачи и день возвр; кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день). В приведён» выше условном примере точная длительность ссуды составит по календарю дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае +16 дней в июне + граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать таблиі номеров дней в году (10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня - 168 Если же использовать приближенный способ подсчёта, то длительность ссуД составит 98 дней (21 + 2 * 30 + 16 + 1).

Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы 1 длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину * I К): Точные проценты с точным числом дней (365/365). Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360). Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

Различия в способах подсчёта дней могут показаться несущественными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров. Предположим, что ссуда в размере 10 млн рублей выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 45% годовых (простая процентная ставка). Определим наращённую сумму этого кредита по каждому из трёх способов. Табличное значение точной длительности ссуды равно 244 дням (365 - 121); приближенная длительность - 241 день (6 * 30 + 30 + 30+1). 10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн рублей. 10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн рублей. 10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн рублей.

Разница между наибольшей и наименьшей величинами (13,05 - 13,008) означает, что должник будет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение 2 способа начисления процентов.

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчёт современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей), или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учётной) ставки и длительности операции находится первоначальная (ісовременная, приведённая или текущая) стоимость

р п

зависимости от того, какая именно ставка - простая процентная или пРостая Устная - применяется для дисконтирования, различают два его вида: атематическое дисконтирование и банковский учёт.

Метод банковского учёта получил свое название от одноименной ансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у

владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учёта. При этом используется простая учётная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

P*=Sx (1--L.XII)

К (8),

где t - срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй

сомножитель этого выражения (1 *— (t / k ) * d) называется дисконтным

множителем банковского учёта по простым процентам. Как правило, прв

банковском учёте применяются обыкновенные проценты с точно!

длительностью ссуды (2 вариант). Например, владелец векселя номиналом 2I

тыс. рублей обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней ді

наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию пlt;

простой учетной ставке 35% годовых. Выкупная цена векселя составит:

Р = 25000 * (1 - 60/360 * 0,35) = 23541,7 руб,

а сумма дисконта будет равна

D = S-P = 25000-23541,7 = 1458,3 руб.

При математическом дисконтировании используется простая процентна

ставка і. Расчёты выполняются по формуле:

¦р-—7—

+ кgt;"              (9),

Выражение 1 / (1 + (t / k) * і) называется дисконтным множителей математического дисконтирования по простым процентам.

Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учlt; случаях, когда возникает необходимость определить современную велич; суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупап обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 Дй0

после поставки в сумме 1 млн рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно, текущая стоимость товаров будет равна:

р=1/(1 + 90/ 360 * 0,3) = 0,93 млн рублей

Применив к этим условиям метод банковского учёта, получим:

р = 1 * (1 - 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн рублей

Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует

помнить, что каких-то жёстких требований выбора того либо иного метода

выполнения финансовых расчётов не существует. Никто не может запретить

участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод

математического дисконтирования или банковского учёта. Существует,

пожалуй, единственная закономерность - банками, как правило, выбирается

метод, более выгодный для кредитора (инвестора).

Основной областью применения простых процентной и учётной ставок

являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1

года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможности

реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и

дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы Р

или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность

реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по

формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом

которой является начальная сумма Р, а знаменатель равен (1 + і).

рgt; Р * (1 + і), Р * (1 + І)2, Р * (1 +і)3,..., Р * (1 + i)n,

где число лет ссуды п меньше числа членов прогрессии к на 1 (п = к - 1).

Наращённая стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

V }              (Ю),

Где (\ + п

^ viTij - множитель наращения декурсивных сложных процентов.

р

Ма по себе сложная процентная ставка і ничем не отличается от простой Р Считывается по такой же формуле (1).

Сложная учётная ставка определяется по формуле (2). Так же, как и случае простых процентов возможно применение сложной учётной ставки дд^ начисления процентов (антисипативный метод):

(id,

где 1 / (1 - d)An - множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Однако практическое применение такого способа наращения процентої весьма ограничено и он относится, скорее, к разряду финансовой экзотики.

Важной особенностью сложных процентов является зависимосга конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опяті сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов:              базі!

начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остаётс! неизменной, как в случае простых процентов. Например, если начисляї 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1 тыс. рублей возрастёт концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если же начислять по 10% кажды полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. рублей (1 * (1 +0,1) * (1 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 1,216 тыс. рубле По мере увеличения числа начислений (т) и продолжительности операции Э1 разница будет очень сильно увеличиваться. Если разделить сумму начисленнь процентов при ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, Ї получится 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Следовательно, сложная став] 20% при однократном наращении и 20% (четыре раза по 5%) п{ поквартальном наращении приводят к различным результатам, то есть они ї являются эквивалентными. Цифра 20% отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку. Эффективной процентной ставке является значение 21,6%. В финансовых расчётах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

л /Л I j \ЖХМ

^ = р X (1 + —)

т (12).

Например, ссуда размером 5 млн рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год БудуЩая сумма к концу срока ссуды составит:

S = 5 * (1 + 0,35 / 2УХ2 * 2) = 9,531 млн рублей.

При однократном начислении её величина составила бы лишь 9,113 млн. рублей (5 * (1 + 0,35)А2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968 млн. рублей (5*1+ (0,35 / 12)Л(12 * 2)).

При начислении антисипативных сложных процентов номинальная учётная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

п —

т

(13).

Выражение 1 / (1 - f / m)Amn - множитель наращения по номинальной учётной ставке.

Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами - математическим дисконтированием и банковским учётом. Последний менее выгоден для кредитора, чем учёт по простой учётной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:

i-ix(l-i)»|              (14)i

ГДЄ (1 -d)"

- дисконтный множитель банковского учёта по сложной

Учётной ставке.

При ш gt; 1 получаем

т              (15),

гДе f- номинальная сложная учётная ставка,

О - f / m)™ - дисконтный множитель банковского учета по сложной Минальной учётной ставке.

Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке і. Для m = 1 получаем

р-^_

lt;1+°"              «б,.

где 1 / (1 + i)n - дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формул* математического дисконтирования принимает вид:

Р =

lt;1+2-)**»

*              (17),              1

где j - номинальная сложная процентная ставка,

1              / (1              + j / m)1”11 - дисконтный множитель математическог

дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Например, требуется определить современную стоимость платежа размере 3 млн рублей, который должен поступить через 1,5 года, процентні ставка составляет 40%:

при ш=1Р = 3/(1 + 0,4)А1,5 = 1,811 млн рублей;

при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) Р = (3 / (1 + 0,4 / 2)А(2 * 1,5) 1,736 млн рублей;

при m = 12 (ежемесячное начисление) Р = (3 / (1 + 0,4 / 12)А(12 * 1,5) 1,663 млн рублей.

По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (і промежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается! при m = 1 этот промежуток равен 1 году, а при m = 12 - только 1 месі Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление ело: процентов производится настолько часто, что общее его число в году стрем] к бесконечности, тогда величина промежутка между отдельными начислені будет приближаться к нулю, то есть начисление станет практичен непрерывным. Такая, на первый взгляд, гипотетическая ситуация имеет ваяс**|

ачение для финансов и при построении сложных аналитических моделей ( апример при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто рименяют непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой б (читается “дельта”), часто этот показатель называют “сила роста”. Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:

S = P*e°*n              (18),

где е - основание натурального логарифма (-2,71828...),

е°*п - множитель наращения непрерывных процентов.

Например, чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если сегодня положить её на банковский депозит под 15% годовых, начисляемых непрерывно?

S = 250 * е(0,15 *3) = 392,1 тыс. рублей.

6.2.Эквивалентность процентных ставок

Часто при расчётах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалентных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного айда, применение которых при одинаковых начальных условиях даёт одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем.

ыбирается величина, которую можно рассчитать при использовании Различных процентных ставок (обычно это наращённая сумма S). На основе Р венства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путём соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Приравнивая вышеуказанные формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Рассмотрим несколько случаев.

Приравнивая соотношения (3) и (4), получим:

d

откуда

і -

\-nd

(19),

(20).

1 + ПІ

Из формул (19) и (20) имеем: 1 + ш = (1 + /с)и

і = ((1 + Ои-1)/я

(22).

= Ф + ni - 1

Приравнивание формул (3) и (22) дает: 1 + ni = (1 + j/m)mn

п

(23)

(24)

j - т(т41 + ni -1

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (4) и (12):

Полученная по формуле (25) годовая ставка сложных процентов, дивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления. Очевидно, что значение эффективной процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при п = 1.

Далее из формул (4) и (11) имеем:

1

(I + К)"

(1 -dcY d „

(26),

1 + L

(27).

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.

Проанализировав полученные формулы, можно сделать два замечания. Эквивалентность различных процентных ставок никогда не зависит от величины первоначальной суммы р (для данного рассматриваемого случая, когда первоначальная сумма р предполагается одинаковой). Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от пР°должительности периода начисления за исключением случая ЭКвивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).