5.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ КОНКУРЕНЦИЯ 5.7.1. ТРАДИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КУРНО: СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ

СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЙ

Равновесие чистых стратегий имеет привлекательные особенности. Во- первых, оно просто. Во-вторых, ни одна фирма не испытывает ex post разочарования, узнав о выборе другой фирмы. Поэтому никакой дальнейшей корректировки не требуется, даже если фирма может изменить свои мощности. Равновесие смешанных стратегий требует, чтобы фирмы не могли изменить свои мощности (даже в сторону их увеличения), так как реализация мощности одной фирмой может оказаться неоптимальной по отношению к другим фирмам. Таким образом, они более чувствительны к возможности корректировки. Равновесие чистых стратегий привлекает пристальное внимание исследователей. С этой целью исторически рассматриваются две группы предположений. Мы будем рассматривать применение чистых стратегий в случае с двумя фирмами; это легко можно свести к большему количеству фирм. Для упрощения мы также предположим, что функции прибыли дважды дифференцируемы.

Первый подход предполагает, что функция прибыли каждой фирмы вогнута относительно ее собственного выпуска (см., например [57]). Из анализа в тексте мы знаем, что достаточным условием для этого является условие выпуклости функции затрат (C^qi) > 0) и вогнутости функции спроса (Рп < 0). При вогнутых функциях прибыли можно определить непрерывные функции реагирования Ri(qj).366 Чтобы убедиться, что эти функции пересекаются, следует допустить технические условия

Р(0) > С|(0)

для всех г (каждая фирма предпочла бы производить по крайней мере небольшое количество, если бы она являлась монополией) и

Я-» > д((0) = С

(выпуск фирмы г, который вынуждает фирму j ничего не производить, превышает монопольный выпуск фирмы г).

Замечание. Наличие равновесия чистых стратегий Курно не обосновано в отрасли с большим количеством фирм. Чтобы это понять, вспомним, что вторая

ЧіР"(С!) + 2Р'(())-СЇ(Чі).

Предположим, что С" > 0 и что (как в приведенном здесь примере) при увеличении числа фирм спрос остается постоянным, а также, что совокупный выпуск приближается к конкурентному. /^(<2) тогда сходится к строго отрицательной константе. Если

Рис. 5.8.

К сожалению, функция прибыли не обязательно вогнута. Она может не быть таковой, в частности, если функция спроса «достаточно выпукла». (См. [23, 47] — яркие контрпримеры вогнутости функции прибыли и существования равновесия чистых стратегий даже при выпуклой функции затрат). Функции реагирования могут не быть непрерывными (могут включать скачки), если функции прибыли не вогнуты. Второй подход [39, 40, 46, 59] доказывает наличие симметричных фирм при выпуклой функции затрат. Ключ к доказательству состоит в том, чтобы показать: допущение о выпуклости функции затрат предполагает, что скачки в функции реагирования (которые одинаковы для всех фирм) — это скачки вверх.369 Как показано на рис. 5.8, только скачки

вниз представляют проблему для доказательства, что выпуск фирмы, д, — оптимальная реакция для фирмы (симметричное равновесие чистой стратегии).

Более современный подход [42] (связанный с этим результат см.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ

Даже если она существует, равновесие чистых стратегий Курно не обязательно единственно (рис. 5.9). Тем не менее можно найти достаточное условие единственности. К примеру, рассмотрим случай с двумя фирмами. Предположим, что функции прибыли строго вогнуты относительно индивидуального выпуска. Дифференцирование условия первого порядка

9з) = о

по qj дает наклон кривой реагирования:

Достаточным условием того, чтобы кривые реагирования пересекались только один раз, является то, что, где бы они ни пересекались, Я] было бы круче, чем Д2 (см. точки Л и С на рис. 5.9). В свою очередь, чтобы достаточное условие выполнялось, производные функций реагирования должны быть меньше 1 по своему абсолютному значению во всей области значений (\Я[\ < 1). Таким образом, |П|-| > (П-1 достаточно для единственности.24 Это условие удовлетворяется

положительно и произвольно мало. Максимизация прибыли требует, чтобы

Я2Р(Я1 ~ е + Ы > д'2Р(Я1 ~ е + Яг)

и

Я2Р(Я1 + ? + 92) > <72^(^1 + ? + 92)-

I Суммируя эти два неравенства и используя разложение Тейлора первого порядка по е, \ получаем противоречие для Р" > 0. Таким образом, здесь не может быть никакого I скачка вниз. Читатель может проверить это свойство для общей выпуклой функции затрат.

24При п фирмах условие

р. > с< - ты >

достаточно. В действительности это условие не требует, чтобы товары были совершен ными субститутами; см. [23].

при линейном спросе и постоянной отдаче от масштаба, когда наклон функций реагирования равен 1/2. 5.7.1.3.