5.2.1 Субъекты экономики в моделях общего равновесия

Модель потребителя

Ниже через pk будем обозначать цену k-го блага, а через p вектор всех цен (pi,... ,pi). Пусть потребитель i ? I, предпочтения ^i которого зависят только от собственного потребления Xi = {xik}k Gfc, сталкивается с рыночными ценами p приобретаемых им благ.

pxi = Е pkXik ^ ei,

keK

т. е. бюджетное множество имеет вид

Bi(p, ei) = { Xi ? Xi | pxi ^ ei }

Здесь ^i = ^i('), где ^i(') - функция, задающая доход потребителя. Способ формирования дохода зависит от конкретного варианта экономики. Например, в экономике обмена доход потребителя формируется за счет продажи по рыночным ценам его начальных запасов:

^i(p, Ui) = pUi = Е pk^ik.

keK

В модели классических рынков предполагается, что начальные запасы Ui, цены, а также доходы из других источников не зависят от выбора потребителя (определяются экзогенно). Другими словами, потребитель считает, что не влияет на цены и свою исходную (до торговли) собственность, принимая их как данные. Поэтому при описании выбора потребителя при заданных ценах будем считать, что доходы фиксированы.

Таким образом, набор xi является выбором потребителя, сталкивающегося с ценами p и имеющего доход в, если

набор xi принадлежит бюджетному множеству, xi е Bi(p,^i);

любой потребительский набор xi е Xi лучший, чем xi, не принадлежит бюджетному множеству, т. е. xi >-i xi ^ xi е Bi(p, @i).

Если предпочтения потребителя описываются функцией полезности Ui(-), то его выбор моделируется как решение задачи максимизации функции полезности по xi е Xi при бюджетном ограничении.

Ui(x) м max xi

xi е Bi(p,^i).

При дифференцируемости функций полезности можно охарактеризовать решение задачи потребителя, т. е. оптимальный для данного потребителя набор xi, при помощи теоремы Куна- Таккера в дифференциальной форме (см. Приложение).

Будем считать, что решение задачи потребителя внутреннее, т. е.

xi е int Xi.

Это позволяет не учитывать ограничение xi е Xi.

Функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L(xi, Vi) = Ui(xi) + vJ в - Е PkXik

keK

где Vi - множитель Лагранжа для бюджетного ограничения.

По теореме Куна- Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что не все цены равны нулю) существует множитель Лагранжа Vi ^ 0, такой что в оптимуме

dL(xi, Vi)

= 0, Vk е K,

dxik

или

dui(xi) w, _ = ViPk, Vk е K.

dXik

Другими словами,

Vui(x i) = Vi p,

то есть градиент функции полезности коллинеарен вектору цен.

Если предположить, что в решении задачи потребителя xi не все частные производные функции полезности равны нулю, Vui(xi) = 0, то Vi > 0. Такое решение задачи потребителя может иметь место только если цены, с которыми он сталкивается, не все равны нулю. Исключая множитель Лагранжа, для любых двух благ k, s е K, таких что pk = 0, получаем, что

Ps = dui(x i)/dxis Pk dui(xi)/dxik.

Следовательно, решение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы замещения любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы получили классическую дифференциальную характеристику решения задачи потребителя.

Это одно из условий первого порядка, т. е. необходимое условие максимума. Поскольку, как мы предположили, градиент не равен нулю, то v > 0, и по условию дополняющей нежесткости теоремы Куна - Таккера получаем, что бюджетное ограничение выходит на равенство:

pxi = ei.

Это еще одно условие первого порядка.

Условия первого порядка задают систему уравнений, любое (внутреннее) решение которой по обратной теореме Куна- Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено дополнительное условие, состоящее в том, что множество Xi выпукло, а функция полезности Ui(-) вогнута.

Напомним, что Ui(-) называется вогнутой, если

ui(ax + (1 - a)y)^aui(x) + (1 - a)"i(y) для любого a ? [0,1] и любых x и у.

Замечание: На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть преобразована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. Монотонное преобразование функции полезности приводит к новой функции полезности, представляющей те же предпочтения.

Существуют и более слабые наборы условий, гарантирующие тот факт, что условие первого порядка приводят к решению задачи потребителя. Обычно они включают выпуклость предпочтений (или квазивогнутость представляющих их функций полезности) (см. задачу???). Мы приводим здесь более сильные, чем это необходимо, достаточные условия оптимальности, чтобы использовать в анализе хорошо известный читателям аппарат теории экстремальных задач - эффективное средство их анализа.

Отдельного рассмотрения требует случай, когда решение задачи потребителя не является внутренним. Пусть, например, Xi = R+ и потребление некоторых благ в решении задачи потребителя может быть равно нулю. Для получения дифференциальной характеристики такого решения опять можно воспользоваться теоремой Куна- Таккера. Получаем, что оптимальный набор должен удовлетворять условиям

dL(xi) dL(xi)

- ^ 0, причем - = 0, если xik > 0, Vk ? K.

dxik dxik

или

dui(xi) dui(xi) _ ,

-d ^ Vipk, причем - = Vipk, если Xik > 0, k ? K.

dxik dxik

Модель производителя

При выборе объемов производства yj = {yjk }keK каждая фирма j ? J ограничена своим технологическим множеством Yj. (Напомним, что здесь речь идет о чистом выпуске, т. е. отрицательные элементы технологии yj соответствуют затратам.)

В качестве целевой функции "классического" производителя берется его прибыль

nj = pyj = Е pk yjk.

keK

В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает, что не может влиять на цены. Таким образом, задачей производителя является максимизации прибыли при технологических ограничениях:

РУ, м max

J yj

yj е Y .

Если технологическое множество задано неявной производственной функцией gj(?), то задача производителя записывается как

РУ, м max

j yj gj (yj) ^ 0.

При дифференцируемости функции gj(?) решение этой задачи также можно охарактеризовать при помощи теоремы Куна- Таккера в дифференциальной форме.

L = Е Pk yjk + Kj gj (yj ^

keK

где Kj - множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.

По теореме Куна- Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что Vgj (yj) = 0) существует множитель Лагранжа Kj ^ 0, такой что в оптимуме dL(y j ,Kj)

= 0, k K,

<%k

или

dgj (y j)

do, (y.)

= pk, Vk е K. Другими словами,

Kj Vgj (yj) = P,

то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен. Если не все цены равны нулю (p = 0), то Kj > 0. Исключая множитель Лагранжа Kj, для любых двух благ k, s е K, таких что pk = 0, получаем, что

Ps = dgj(y j )/dyjs Pk <9gj (yj )/dyjk.

Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной нормы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы получили классическую дифференциальную характеристику решения задачи производителя.

Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной теореме Куна - Таккера является решением задачи производителя, если выполнено дополнительное условие, что функция gj(?) вогнута.