Свойства монопольного равновесия

Если решение задачи существует и внутреннее (ум > 0), то условие первого порядка имеет следующий вид:

м ,/ м, /м\ '/ м \

У Р [У )+Р{У )=с(у ), где у* — выпуск, максимизирующий прибыль.

yp\y)+p(y) = MR(y) = MC(y)=c'(y).

Отличие состоит в том, что в ситуации монополии цена, по которой фирма-монополист может продать продукцию, р(у), меняется в зависимости от количества, поэтому предельная выручка не равна цене.

Приведем стандартную графическую иллюстрацию равновесия при монополии. Укажем сначала простой способ построения на графике точек MR(y). Проведем касательную к кривой спроса в точке, отвечающая объему производства у. Соответствующая объему производства у точка кривой предельной выручки строится следующим образом: проекция точки (у, р(у)) на ось ординат отстоит от точки пересечения с этой осью касательной на в два раза большее расстояние, чем проекция самой этой точки (у, MR(y)) на кривую спроса (см. Рис. 39). ь <р \\ \ \ V- \
\ N
\\ \ \ Х
\ MR\ \ \ \ У

Рисунок 39 Другими словами, точка предельной выручки для объема производства у лежит на медиане треугольника, отсекаемого от

положительного ортанта касательной к кривой спроса в той же точке у. В случае же линейной функции спроса кривая предельной выручки оказывается просто соответствующей медианой треугольника, гипотенуза которого — кривая спроса.

Для решения монополиста можно привести графическую иллюстрацию (Рис. 40). Здесь MR(y) = р(у) + р'(у) у — кривая предельной выручки монополиста, а МС(у) = с (у) — кривая предельных издержек.

Пример 3.

Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = а - by, и издержки заданы функцией с(у) = су (а, Ь,с — константы). Тогда прибыль монополии равна

П(г/) =у(а-Ъу)-су=(а-с)у-Ъу2. Максимум прибыли будет достигнут при

м а С м CL с

v =— и р

Условие равновесия при монополии можно представить в виде, где явно указывается зависимость монопольной цены от издержек производителя и эластичности спроса на его продукцию.

Напомним определение эластичности спроса по цене в заданной точке:

^D'(p)^.

С учетом наших предположений о функции спроса эластичность как функцию от объема производства можно записать как

J y_

p I

Поскольку мы предполагаем, что функция спроса убывает, то эластичность отрицательна, и

1Ф)1 ="*(«>= "Щ?-

Используя эластичность, условие первого порядка можно записать в виде

Заметим, что из условий первого порядка при естественном предположении о положительности предельных издержек (с'(у) > 0) следует, что выбранный монополистом объем производства лежит на «эластичном» участке кривой спроса, т.е.

|е(2/м)1>1-

Другая форма записи условия первого порядка максимума прибыли монополии имеет вид:

р(уМ)-с'(ум) _ 1

Р(Ум) 1ФМ)Г

Выражение справа называется индексом Лернера.

Если обратная функция спроса р(-) и функция издержек монополиста с( ) дважды дифференцируемы, то объем производства

М « Г

у максимизирующии прибыль, удовлетворяет также и условию второго порядка:

2р(у") + УР'\У") - с"(у*) < 0.

Это условие можно также представить в виде

MR (у) ч МО (у).

Данное соотношение означает, что тангенс угла наклона кривой предельной выручки не превышает тангенс угла наклона кривой предельных издержек в точке их пересечения у". Другими словами, кривая предельной выручки пересекает кривую предельных издержек сверху вниз. В дальнейшем будем считать, что условие второго порядка выполняется как строгое неравенство, т.е.

2р'(у") + ур'\уМ) - с"(у*) < 0.

Это условие вместе с условием первого порядка гарантирует, что

« Г* М

удовлетворяющий им объем производства у отвечает точке локального максимума прибыли.

Докажем, что если р(0) > с'(0), то выпуск монополии будет положительным. Выполнение этого условия необходимо, чтобы сделать анализ содержательным, так как при р(0) < с'(0) предмет анализа — рынок — отсутствует, поскольку максимум прибыли как монополиста, так и производителя в условиях совершенной конкуренции достигается при нулевом объеме производства (предполагается убывающая отдача, т.е. возрастание функции предельных издержек).

I Теорема 17.

j Пусть функция издержек с (у) и обратная функция

j спроса р(у) дифференцируемы и р(0) >с'(0). Тогда в рав-

i " м

! новесныи выпуск при монополии положителен, т.е. у >

\ 0.

Доказательство.

Объем производства ум, являющийся решением задачи максимизации прибыли:

Щу)=р(у)у-с(у) ^тах,

у»0

должен удовлетворять условию первого порядка

Щг/") = р(у") + р'(у") у" - с (у") < 0 (причем по условию дополняющей нежесткости П'(г/М) = 0, если у > 0).

Максимум не может достигаться в нуле, так как если ум = 0, то по условию оптимальности должно быть выполнено

П'(0) = р(0) - с'(0) <0, что противоречит предположению р(0) > с'(0).

Поскольку монополия учитывает, что ее выпуск влияет на цену, то она при прочих равных условиях не может производить больше, чем фирма в условиях совершенной конкуренции, которая этого не учитывает.

j Теорема 18.

j Предположим, что (обратная) функция спроса убывает, ! у* > 0 — объем производства, выбранный монополией, а j у — объем производства, который был бы выбран фир- i мой с такой же функцией издержек при конкурентном

! поведении. Тогда

' 1 м ^ —

! 1- У < У-

| 2. Если, кроме того, функция спроса и функция из-

j держек дифференцируемы п р (у*) < 0, то у" < у.

Доказательство.

По определению, ум максимизирует прибыль монополии. Поэтому

р(у") у" - с (у") > р(у)у - с(у).

С другой стороны, поскольку при конкурентном поведении фирма, выбирая выпуск у, максимизирующий прибыль, рассматривает цену как данную, то

р(у)у-с(у)^ р(у)у"-с(у").

Сложив эти два неравенства, получим

/ Мч М . / — \ М

Р{У )у >р{у)у .

Поскольку, по предположению, у* > 0, то р(у*) > р(у), откуда, при убывании обратной функции спроса, следует, что у* < у.

Докажем вторую часть теоремы. Так как у* > 0, функции спроса и издержек дифференцируемы, то выполнено условие первого порядка в следующем виде:

M//Mv. / Н, // Н,

У Р [У )+Р{У )=с(у )•

Другими словами,

р(у")-с'(у')=-у'р(у') >0,

Выпуск у по определению максимизирует прибыль в условиях, когда производитель рассматривает цены р(у) как данные. Так как у положителен (у > у* > 0), то выполнено соотношение

р(у) -с'(у)= 0.

Отсюда следует, что у не может совпадать с у", следовательно, у" < у. Ш

Монотонности функции спроса, вообще говоря, недостаточно для справедливости второй части утверждения (т.е. условие р'(у*)< 0 теоремы существенно), что показывает контрпример, показанный на Рис. 41, где р(у) = (у - 1)3+ 1 и с(у) = у2/2. В этом примере кривая предельной выручки касается кривой спроса в точке у = 1, и через ту же самую точку проходит кривая предельных издержек.

Помимо вышеприведенных свойств монопольного равновесия, представляет интерес поведение решения и его характеристик при изменении параметров модели, что составляет предмет сравнительной статики, рассматриваемой в следующем парагра-

Сравнительная статика

Сравнительная статика — это изучение поведения оптимального решения или равновесия при изменении экзогенных параметров.

j Теорема 19.

j Пусть Cj( ) и с2( ) — дифференцируемые функции из- ! держек такие, что с[(у) < с'2(у) при всех у > 0, и пусть г/Т > j 0 дает максимум прибыли при издержках Cj( ), а г/г > О | — при издержках с2( ). Тогда г/Т > г/г.60

Доказательство.

По условиям максимальности прибыли в обеих сравнивае-

м м

мых точках г/i и г/г имеем:

/ Мч М / Мч / Мч М / Мч

Р{УЧ г/1 -сДг/i) >р(г/г) г/г-сДг/г),

/ Мч М / М\ . / Мч М / Мч

Р(У2) г/г-с2(г/г) >р(г/1) г/1 -с2(г/1). Складывая эти соотношения и приводя подобные члены, получим

[с2(г/Т) - С)(г/Т)] - [с2(г/г) - с^г/г)] > О,

м

г/i

|[с2'(г/)-с1'(г/)]сгг/>0

м

г/г

Поскольку подынтегральное выражение положительно, то нижний предел интегрирования не может превышать верхний:

м ^ м —

г/i > г/г. ¦

Доказанное утверждение можно проиллюстрировать с помощью рисунка, на котором кривая предельных издержек смеща-

60 Отметим, что мы не предполагаем единственности решения задачи монополиста. В случае множественности каждое решение, соответст-

Для частного случая постоянных предельных издержек вышеприведенная теорема может быть получена непосредственным использованием условий первого и второго порядка.

Условие первого порядка для случая постоянных предельных издержек (с'(у) =с) имеет следующий вид:

M//Mv. / Hi

У Р (у )+Р{У )=с.

Оно задает в виде неявной функции зависимость объема производства, выбираемого монополистом, от величины предельных издержек у* = у(с). В предположении существования производных обратной функции спроса р(у) и функции у (с), продифференцируем по с тождество

у(с) р'(у(с)) + р(у(с)) = с.

Получим соотношение

2 р'(у(с)) у'(с) + у (с) р"(у(с)) у'(с) = 1,

,, , 1

У[С) 2р'(у(с))+у(с)р"ШУ

В знаменателе дроби стоит вторая производная прибыли, которая (по условиям второго порядка) неположительна. Отсюда следует, что у (с) — убывающая функция.

По изменению выпуска можно найти изменение цен по следующей формуле.

dp 1

-Т- =р'(у(с)) у'(с) = >0.

ас 2 + у(с)р (у(с))/р(у(с))

Это соотношение показывает, что равновесная цена растет при

росте издержек.

Приведенные соотношения можно применять для анализа влияния на монопольное равновесие изменения в величине издержек (шоков со стороны предложения). В качестве примера такого изменения можно рассмотреть введение налога с продаж. Так, при линейной функции спроса и постоянных средних издержках введение налога с единицы продукции при ставке t приводит к росту цены на t/2. В случае же функции спроса с постоянной эластичностью е<0 (т.е., у(р) = ар?) введение такого налога приводит к росту цены на величину t |е| /(1+|е|). (Справедливость этих утверждений проверьте самостоятельно.)

Приведенные свойства позволяют провести анализ потерь благосостояния, связанных с монопольной организацией рынка,

вующее меньшим по величине издержкам, больше каждого решения, соответствующего большим по величине издержкам.

что является основной задачей нашего анализа несовершенных рынков.