3.4. Дискретные функции затрат. Выпуклый случай

А) Механизм стимулирования

Механизм стимулирования роста уровня СУПБ в дискретном случае будет иметь вид

(3.4.1) Фk = Z(lj-skjKj ,

j=1

где skj - оценка затрат предприятия k, требуемых на достижение уровня j, sk0 = 0, то есть, при установлении предприятию нормативных требований ykT = j, предприятие получает либо из централизованного фонда стимулирования, либо в виде налоговых льгот, сумму 1j.

Примем, как и в непрерывном случае, гипотезу слабого влияния оценок sk = {skj} отдельного предприятия на параметр стимулирования 1. В этом случае, как показано в [ ], сообщение достоверных оценок sk = Qk является доминантной стратегией предприятия, если механизм управления является механизмом 56 открытого управления (честной игры). Согласно принципу честной игры, план xk повышения уровня СУПБ k-го предприятия должен удовлетворять следующим условиям совершенного согласования:

Смысл этих условий в том, что предприятие должно получить задание по росту уровня СУПБ до такой величины q, при которой разность стимулов 1j и оценок затрат skj максимальна.

При сообщении достоверных оценок условия совершенного согласования принимают вид (3.4.2) § (lj - Qkj )x

j )xkj = max(lJ - Qkj) k = 1,n, Qk0 = 0

J=1

0 Возникает вопрос, всегда ли существует параметр стимулирования l такой, что оптимальный план x* является эписогласованным, то есть, удовлетворяет условиям (3.4.2). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 3.1.

параметр l такой, что условия совершенного согласования выполняются для оптимального плана x*.

Доказательство. Рассмотрим задачу оптимального планирования нормативных уровней к СУПБ предприятий: минимизировать (3.4.3)

Z Qk,ixk,j при ограничениях: xkj = {0, 1}, (3.4.4)

Zxk,j < 1, k = 1,n, (3.4.5) ? j • xk,j > Rt.

k,j

Ограничение xkj = {0, 1} можно заменить условием xkj > 0,так как при этом условии задача всегда имеет целочисленное решение. Сформулируем двойственную задачу, введя двойственные переменные uk > 0, k = 1,n и 1 > 0: максимизировать

n

IRT - ? Uk

k=1

при ограничениях

Ij - Uk < Qkj, j = 1, 2, 3, k = 1,n ,

или (3.4.6)

Uk = max(l• j-Qkj)k = 1,n .

j

Поскольку прямая задача имеет решение, то двойственная задача тоже имеет решение, то есть существует 1 > 0, uk, k = 1, n,

удовлетворяющие (3.4.6), а значит, условия совершенного согласования имеют место. Теорема доказана.

Величину стимулирующего параметра легко определить, зная оптимальный план x*. Если обозначить через jk - уровень СУПБ k-го предприятия в оптимальном плане, то минимальная величина 1 определяется выражением (3.4.7)

1 = max(Qk,jk -Qk,jk-1).

k

Пример 3.3. Значения Qkj для пяти предприятий приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1. \\ k 1 2 3 4 5

1 2 1 3 2 1 2 5 4 7 3 3 3 10 10 14 6 7 Пусть RT = 10. Применяя алгоритм, описанный в пункте 2.3, получаем оптимальное решение:

x12 = 1 x22 = 1, x31 = 1, x43 = 1, x52 = 1,

остальные xkj = 0. Минимальные затраты равны

5 + 4 + 3 + 6 + 3 = 21.

Имеем:

1 = max (5 - 2; 4 - 1; 3 - 0; 6 - 3; 3 - 1) = 3.

Теорема 3.1 справедлива при гипотезе слабого влияния.

Насколько правомерна эта гипотеза? Для ответа на этот вопрос

рассмотрим сначала случай одинаковых предприятий. Имеет место

Теорема 3.2. Если RT = kn + s, где 0 < s < n, k = 0, 1 или 2, то

сообщение достоверной информации является равновесной

стратегией каждого предприятия.

Доказательство.

ограничения общности) k = 1. Так как 0 < s < n, то s предприятий

имеют задание yT = 2, а (n - s) предприятий имеют задания yT = 1.

Очевидно, что предприятия, у которых yT = 1, не могут повлиять на

величину стимулирующего параметра 1, так как 1 определяется

группой предприятий, у которых yT = 2. Поэтому примем, что они

сообщают достоверные оценки Qkj. С другой стороны, попытка

предприятия со значением yT = 2 повысить разницу Qk2 - Qy и тем

самым увеличить 1 сразу же приведет к уменьшению его задания до

yT = 1. При этом, одно из предприятий с yT = 1 получит более

выгодное задание yT = 2, а величина 1 не изменится. В

59

определенном смысле сообщение достоверной информации является доминантной стратегией каждого предприятия. Исключение составляет маловероятный случай, когда все предприятия с заданием yT = 1 вдруг повысят свои оценки Sk2 > Qk2. В этом случае любому из предприятий q с заданием yT = 2 выгодно повысить свою оценку до величины Sq2 < Sk2. При этом параметр 1 увеличится. Однако, такая ситуация не является равновесной. Теорема доказана.

Пусть теперь RT = k-n, 0 < k < 3. В этом случае любое предприятие q может увеличить параметр стимулирования, увеличивая одновременно оценки Qq,k и Qq,k+1, как показано на рис. 3.2 для случая k = 1 (точки A1, B1). Максимальное увеличение 1 определяется точками A и B и равно, как легко видеть из рисунка, Qk2 - 2Qk1. При этом А увеличивается до величины Qk2 - Qk1.

Для случая k = 2 максимальное увеличение 1 определяется величиной Qk3 + 2Qk2 - Qk1 (точки A и B на рис.3.3). Максимальная величина 1 составит Qk3 -Qk2.

На основе поведенного анализа случая одинаковых предприятий можно сделать определенные выводы для общего случая. Степень искажения информации зависит от первых разностей функции затрат. Более того, если jk - задание для k-го предприятия, то величина

D=+1- Qji ]-[Qjk- Qjk -1]

определяет максимальное увеличение 1 за счет искажения информации k-ым предприятием.

Б) Компенсационный механизм

Как и для механизма стимулирования, сначала рассмотрим случай одинаковых предприятий. Отдельно следует рассмотреть случай, когда RT = s, 0 < s < n. Это единственный случай, когда представление достоверной информации всеми предприятиями является равновесной ситуацией (и доминантной в том же смысле, как отмечалось при анализе механизма стимулирования). Действительно, любое повышение оценки Qk1 предприятием k, имеющим задание yT = 1, приводит к уменьшению задания до 0. Сложнее обстоит дело для случаев, когда RT = kn + s, k = 1 или 2, 0 < s < 3. В отличии от механизма стимулирования (теорема 3.2), в данном случае в равновесии оценки затрат завышены, что иллюстрирует рис. 3.4.

Действительно, при k = 1 предприятие, имеющее задание yT = 2, может завысить оценки sk1 и sk2, соответственно, до точек A1 и B1, сохранив при этом прежнее задание. Предприятие, имеющее задание yT = 1 также может завысить оценку sk1, до точки A1, 62 сохранив прежнее задание. Заметим, что суммарная величина компенсационных выплат будет в точности равна величине стимулирования в механизме стимулирования. Аналогично, при k = 2 могут повысить оценки затрат все предприятия до точек A, B, C (см. рис. 3.4). Величина компенсационных выплат также равна величине выплат в механизме стимулирования. Таким образом, в рассмотренных случаях имеет место аналог теоремы 3.1. к Qkj / С / K ? ^ / ! / JB1// 1 ' ^ 1 V ?

АУ /Ak^Qk2 / «*" 1 ^^ 1 .^^Qkl ! 0

3

1 2

Рис. 3.4. В случае RT = kn или в случае разных предприятий тенденция роста оценок усиливается по тем же причинам, какие были исследованы пи анализе механизма стимулирования. 3. Механизм обратных приоритетов

Анализ механизма обратных приоритетов проведем сначала при предположении, что предприятие изменяет оценку затрат только для уровня СУПБ, который назначен ему в качестве задания. Пусть ji - задание, назначенное предприятию i, s.. - оценка

затрат. Тогда доля фонда Ф, получаемая предприятием i определяется выражением

" A. (3.4.8)

Фi = min s; j ; y^-

_ si,ji

n

где y определяется из уравнения ^Ф; = Ф . Здесь Aj. - приоритет

i=1 i

.;-го уровня. Заметим, что при сделанном предположении изменение оценки в сторону уменьшения не меняет оптимального решения, полученного при условии достоверности данных. Поэтому анализ механизма обратных приоритетов в данном случае ничем не отличается от классического анализа, описанного в литературе [ ], а именно, в равновесии Нэша оценки предприятий будут определяться выражениями:

* л/AT — (3.4.9)

s* = Д- F, i = 1,n .

ljj iV^ j

Насколько обоснованным является предположение об изменении предприятием только той оценки затрат, которая соответствует полученному заданию? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим простой пример.

Пример 3.2. Пусть имеются два предприятия и Rt — 3. Таблица значений Qkj приведена ниже.

Таблица 3.2. j 1 2 1 4 1 2 9 16 Возьмем приоритеты уровней А] — 1, А2 — 4. Очевидно, в оптимальном решении y1T — 2, y2T — 1, QT — 10. Возьмем форд Ф — 6. В равновесии фонд распределится следующим образом: Ф1 — 4, Ф2 — 2. Прибыли предприятий составят

f — 4 - 9 — -5; f2 — 2 - 1 — 1; Очевидно, что первому предприятию невыгодно получать задание yiT — 2, так как при задании yiT — 1 его прибыль (точнее убыток) будет равна 2 - 4 — -2, что предпочтительнее. Для того, чтобы не получить задание y1T — 2 первому предприятию достаточно завысить оценку s12 до величины 20. В этом случае оптимальное решение изменится: y1T — 1,. y2T — 2, соответственно, Ф1 — 2, Ф2 — 4. Убытки предприятий составят f — -2; f2 — - 12. Теперь второе предприятие будет завышать оценку, чтобы не получить задания y2T — 2. Равновесия не существует, оценки затрат неограниченно растут. Для повышения устойчивости механизма обратных приоритетов следует изменить приоритеты так, чтобы хотя бы одному из предприятий было выгодно повышенное задание yT — 2.

Возьмем, например, А1 — 1, А2 — 25. В этом случае при оптимальном плане y1T — 2,. y2T — 1 имеем Ф1 — 5, Ф2 — 1 и f1 — 9 - 5 — 4, f2 — 1 - 1 — 0. Этот вариант устраивает оба предприятия, так как в варианте y1T = 1,. у2Т = 2 первое предприятие имеет 1 - 4 =-3, а второе - 5 - 16 =-11, то есть оба проигрывают.

Интересно проанализировать вариант распределения форда, при котором обоим предприятиям выгодно иметь высокое задание уТ = 2. Мы рассмотрим крайний случай, когда приоритет А1 = 0. В этом случае весь форд Ф получает предприятие, имеющее задание yT = 2. Фактически в этом случае механизм обратных приоритетов переходит в конкурсный механизм. Для того, чтобы конкурс был эффективен, необходимо, чтобы оба предприятия были заинтересованы в получении задания yT = 2. Для этого величина фонда должна удовлетворять условиям

Ф - Q12 > -Q11, Ф - Q22 > -Q21

или

(3.4.10) Ф > max ^2 - Qn; Q22 - Q21).

Примем, что величина фонда удовлетворяет (3.4.10). Проведем анализ полученной игры. Для того, чтобы предприятию 1 получить задание у1Т = 2, необходимо максимально увеличить оценку s11 и, по возможности, уменьшить оценку s12. Аналогично должно поступать предприятие 2. Величина s11, очевидно, ограничена s11 < s12. Аналогично, s21 < s22. Следовательно, s11 = s12 = s1, s21 = s22 = s2. Очевидно, что задание yT = 2 получит предприятие с меньшей оценкой. Согласно принципу обратных приоритетов, предприятие получает величину фонда, равную min (s, Q), где s - оценка затрат. Заметим теперь, что предприятию 1 невыгодно сообщать оценку s1 меньше, чем Q12 - Q11. Действительно, если s1 < Q12 - Q11, то получив высокое задание у1Т = 2, предприятие 1 имеет выигрыш (проигрыш)

s1 - Q12 < - Qn, то есть меньше, чем при получении низкого задания y1T — 1. Аналогично, предприятию 2 невыгодно сообщать оценку s2 < Q22 - Q21.

Окончательно получаем, что если s1 < s2, то предприятие 1 получает высокое задание (выигрывает конкурс). Это произойдет в том случае, если

Q12 - Q11 < Q22 - Q21,

или

Q12 + Q21 < Q11 + Q22. В противном случае, если s1 > s2, побеждает второе предприятие. Это произойдет, если

Q22 - Q21 < Q12 - Q11

или

Q22 + Q11 < Q12 + Q21. Таким образом, в любом случае, конкурс обеспечивает оптимальное назначение заданий по развитию СУПБ.