2.3. Выпуклый случай

Пример 2.2. Значение функций Qk(ykT) = Qkj, j = 0,3, для шести предприятий приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2. \ k

У \ 1 2 3 4 5 6 0 3 2 1 2 2 1 1 5 3 3 3 5 3 2 7 6 7 8 8 6 3 10 9 12 13 14 10 Составляем таблицу 2.3 первых разностей Akj = Qkj - Qkj-i,

j = 13, k = 1,6.

Таблица 2.3. \ k j \ 1 2 3 4 5 6 1 4 2 1 2 1 3 2 2 2 3 4 5 3 3 3 3 3 5 5 6 4 Первые разности, как следует из таблицы 2.3., принимают значения от 1 до 6. Составляем таблицу 2.4, в которой для каждого значения A от 1 до 6 и каждого предприятия высчитываем максимальный уровень j, для которого Akj < A. Так, например, при A = 4 для первого и второго предприятий максимальный уровень j, как следует из таблицы 2.3, равен 3, для третьего - 2, для четвертого - 1, для пятого - 2 и, наконец, для шестого - 3. Максимальные уровни будем обозначать j(k, A). В последнем столбце таблицы 2.4 вписываем сумму уровней всех предприятий, соответствующих

6

данному значению A, то есть R (A) = ^ j(k, A).

k=1

Таблица 2.4. \к А \ 1 2 3 4 5 6 R(A) 1 0 1 0 1 0 0 2 2 2 1 1 1 0 1 6 3 3 3 1 1 2 2 12 4 3 3 2 1 2 3 14 5 3 3 3 3 2 3 17 6 3 3 3 3 3 3 18 Итоговая таблица 2.4. дает возможность определить для каждого RT нормативные уровни ykT для каждого предприятия, минимизирующие суммарную величину упущенной выгоды. Для этого при заданном RT определяем величину А такую, что R(A) < RT < R(A+1). Определяем величины ykTro условий (2.3.1)

I ykT = Rt

k (2.3.2)

j(k, А) < ykT < j(k, А+1).

Полученные значения {ykT} минимизируют суммарную величину упущенной выгоды. Доказательство этого факта легко следует из условий выпуклости функций, и мы не будем его приводить. Действительно, увеличивая RT, мы каждый раз увеличиваем нормативные уровни у тех предприятий, для которых это увеличение дает минимальное приращение упущенной выгоды. Так, при RT < 2 каждое увеличение RT на 1 увеличивает упущенную выгоду так же на А = 1. При 2 < RT < 6 увеличение RT на 1 увеличивает упущенную выгоду уже на А = 2, при 6 < RT < 12 - на 3, и т.д.

График зависимости величины минимальной упущенной выгоды от регионального уровня ПБ приведен на рис. 2.8. Заметим, что Q(RT) также является выпуклой функцией RT.

Рис. 2.8.