Дюрация, выпуклость и процентные риски

· ? Дюрация Маколея (Macaulay Duration)

· ? Модифицированная дюрация (Modified Duration)

· ? Эффективная дюрация с поправкой на опциональность (Effective Duration, option-adjusted) Интерпретация дюрации

· ? Среденевзвешенная продолжительность платежей (денежных потоков), где в качестве весов выступают текущие стоимости этих потоков (Д.

· ? Первая производная стоимости облигации по доходности (модифицированная Д.)

· ? Мера чувствительности стоимости облигации к небольшим изменениям в процентных ставках (Эффективная Д.) Дюрация: рисунок. Эффект купонов

· ¦ Денежные потоки 7-летней 12% облигации, со ставкой дисконтирования 12%.

· ¦ Заштрихованный участок - приведенная стоимость (PV) каждого денежного потока

· ¦ Расстояние (по оси х ) - время

Дюрация: показатель ценовой чувствительности Средневзвешенная длительность (время до погашения) инвестиций

Дюрация Макалея

Пример вычисления дюрации.

Дюрация Макалея

¦ Дюрация Макалея (Mac D): средневзвешенная продолжительность платежей (денежных потоков) облигации ( вес каждого денежного потока основан на дисконтированной приведенной стоимости )

Пример:

¦ Посчитайте дюрацию Макалея для 9%, 5-летней облигации с доходностью 9%. (начисляемой раз в полгода)

Дюрация чисто дисконтных облигаций ( с нулевым купоном) и консолей

· ¦ Для облигаций с нулевым купоном, дюрация равна длительности (времени до погашения), так как 100% приведенной стоимости происходят от выплат номинальной стоимости при погашении.

· ¦ Для все остальных облигаций:

^? дюрация < длительности (до погашения)

· ¦ Длетельность консоля = ?.

· ¦ Дюрация консоля : D = 1 + 1/r Пример вычисления дюрации

· ¦ 2-летняя, 8% купон, номинальная стоимость $1000, доходность до погашения 12%. Купоны выплачиваются раз в полгода.

· ¦ Каждый купон равен $40 и полугодовая доходность (YTM) равна (1/2) ? 12% = 6%.

¦ Приведенная стоимость каждого денежного потока равна

Основные факты о дюрации

¦ При прочих равных условиях:

· 1. Если длительность облигации увеличивается, то дюрация также

увеличивается.

· 2. Если процентные ставки растут, то дюрация купонной

облигации уменьшается

· 3. Чем выше купонная ставка облигации, тем короче ее дюрация.

· 4. Дюрация аддитивная (слагается). Дюрация портфеля ценных

бумаг - средневзвешенная дюрация индивидуальных ценных бумаг в портфеле. Веса равны доли портфеля, инвестированного в конкретную ценную бумагу.

· 5. Чем больше дюрация ценной бумаги, тем больше процентные

изменения в рыночной стоимости данной бумаги в ответ на изменения в процентных ставках. Чем больше дюрация ценной бумаги - тем больше процентный риск данной бумаги. McrosoftS ExceI 2000

ДЛИТ

Возвращает продолжительность Макалея для предполагаемой номинальной стоимости 100 руб.

ДЛИТ(дата_согл ;дата_вступл_в_силу; купон; доход ;частота;базис)

Дата_согл — это дата расчета за ценные бумаги. Эта дата должна быть более поздней, чем дата выпуска, когда ценные бумаги были проданы покупателю. Дата_вступл_в_силу — срок погашения ценных бумаг. Эта дата определяет момент истечения срока действия ценных бумаг.

Купон — это годовая процентная ставка для купонов по ценным бумагам. Доход — это годовой доход по ценным бумагам.

Частота — это количество выплат по купонам за год. Для ежегодных выплат частота = 1; для полугодовых выплат частота = 2; для ежеквартальных выплат частота = 4.

Базис — это используемый способ вычисления дня. Модифицированная дюрация

¦ Модифицированная дюрация : скорректированная дюрация Макалея. Дает более точную оценку ценовой чувствительности облигации

Модифицированная дюрация (MD)

m - кол-во начислений в год

Долларовая (рублевая) дюрация

¦ Долларовая (рублевая) дюрация DD: показывает изменение цены облигации в долларах (рублях) в ответ на изменение доходности (процентных ставок) . Долларовая дюрация = ?P₀MD?

D P ? - DD х ? r

Цена базисного пункта

(вариант модифицированной дюрации)

· ¦ Цена базисного пункта (PV BP - PV Basis Point)

· ¦ Долларовая дюрация облигации для изменения доходности (процентной ставки) на 1 базисный пункт

· ¦ PVBP=0,0001 P₀ MD=0,0001 * DD Пример

Облигация с номинальной стоимостью $100 тыс. размещены по $103,25.

Имеют модифицированную дюрацию 4,84 и доходность 5,15%. Если доходность повысится на 1 б.п. то цена снизится до $103,20.

· 1. Посчитайте цену БП (PVBP) на $100 номинальной стоимости.

· 2. Посчитайте цену БП (PVBP) для всей позиции $100 000.

· 3. Посчитайте долларовую дюрацию портфеля если доходность

изменится на 75 базисных пунктов.

· 1. Цена БП (PVBP)=0,01% x (103,25) x 4,84= 0,05,

или PVBP=?103,2-103,25?=0,05

· 2. Цена БП (PVBP) = 0,05 x 100 тыс. =$50

· 3. Долларовая дюрация (DD) = P x MD x Dr =

103,25 x 4,84 x 0,75%= $3,748 Эффективная дюрация и выпуклость

¦ Эффективная дюрация и выпуклость (скорректированная на скрытую опциональность) - мера дюрации / выпуклости, которая также включает влияние скрытой

Пример:

10-летняя, с 8% купоном облигация, котировки 93,5 и доходность до погашения 9,0%.

· ¦ Если доходность вырастет на 50 б.п., то котировки упадут до 90,452.

· ¦ Если доходность снизиться на 50 б.п., то цена поднимется до 96,6764.

· ¦ Посчитайте эффективную дюрацию и выпуклость облигации при доходности 9.0%.

· ¦ Если доходность вырастет на 100 б.п., каковы будут процентные изменения в цене облигации? Решение:

Альтернативный способ вычисления дюрации облигации: финансово-инженерный подход

Обл - облигация

Н - номинальная стоимость

Куп - купоны

n - кол-во периодов

P - цена облигации

Б.П. - базисный пункт, r - доходность, % ставка Стандартный способ вычисления дюрации облигации :

Параметры облигации: Купон =$60, Номинальная стоимость = $1000, r= 10% ,

n (кол-во периодов)=10

45

Легче вычислить дюрацию с использованием финансовоинженерного подхода. ¦ Параметры облигации: Купон =$60, Номинальная стоимость = $1000, r= 10% , n (кол-во периодов)=10

* Ограничения при использовании дюрации

· ¦ Иммунизацию при помощи дюрации можно использовать в комбинации с хеджированием .

· ¦ Иммунизация является динамичным процессом, так как дюрация зависит от постоянно меняющихся процентных ставок r.

· ¦ Большие изменения в процентных ставках не могу адекватно измеряться только одной дюрацией.

^? Выпуклость

^? Дюрация - линейная аппроксимация нелинейной функции. При больших изменениях в r аппроксимация не является точной. Все финансовые инструменты с фиксированной доходностью являются выпуклыми. Это приводит к ошибке при использовании только дюрации.

· ¦ Также дюрация не подходит при непараллельном изменении в кривой доходности. * Скорректированная дюрация.

¦

¦

^? где MD означает модифицированную дюрацию, а CX -показатель эффекта курватуры. ¦ CX = Консанта ? [ снижение стоимости при повышении r на 1 б.п. + увеличение стоимости при снижении r на 1 б.п. ]

^? В качестве константы обычно используется 1 х 10⁸.

· ¦ Пример: Еврооблигация с 8% купоном, 8% доходность, 6-лет длительность, цена $1000.

Лукашов Андрей Валерьевич 2007 © Copyright

48

Процентный риск и стоимость денежных потоков

Измерение процентных рисков с помощью дюрации:

· ¦ Функция стоимости — график цены облигации по процентным ставкам

· ¦ Долларовая дюрация (DD) - показывает абсолютную чувствительность цены облигации к изменениям в процентных ставках.

· ¦ Модифицированная дюрация (MD) - показывает относительную (в %) чувствительность цены облигации к изменениям в процентных ставках. Измерение модифицированной дюрации (MD) портфеля облигаций

· ¦ Модифицированная дюрация дисконтной облигации.

· ¦ Для вычисления модифицированной дюрации сложных инструментов или портфелей облигаций сначал нужно представить портфель или инструмент как набор дисконтных облигаций

· ¦ Затем модифицированная дюрация портфеля вычисляется как взвешенная сумма всех индивидуальных MD дисконтных облигаций.

· ¦ Вес каждого денежного потока (дисконтной облигации) измеряется как соотношение приведенной стоимости этого потока к приведенной стоимости всего портфеля или инструмента.

Процентные риски: выпуклость (convexity)

· ¦ Отношения между ценой и процентными ставками являются нелинейными. Поэтому при сильных изменениях в процентных ставках одной дюрации недостаточно для измерения ценовой чувствительности облигаций

· ¦ Дополнительно измеряется влияние выпуклости (доходность от выпуклости).

· ? Измерение выпуклости: чтобы вычислить выуклость нужно знать текущую цену облигации, а также цену при повышении и снижении процентных ставок на 50 б.п.

· ? Долларовый выигрыш от выпуклости (ДВВ - DGFC)

Процентный выигрыш от выпуклости (ПВВ - GFC)

Выпуклость

· ¦ Выпуклость используется как коррекция к методу дюрации при вычислении изменений в цене облигации.

· ¦ Для аппроксимации выпуклости используется формула (вверху)

Общая формула с учетом дюрации и выпуклости

Лукашов Андрей Валерьевич 2007 © Copyright

Рисунок: Функция стоимости облигации

Долларовый выигрыш от выпуклости

Пример: вычислите дюрацию и выпуклость 6-летней облигации с 5% ежегодным купоном, доходность до погашения равна 6%. (Номинальная стоимость равна $1000. Купон =0,05 Доходность =0,06 Длительность = 6)

«CX» = потери от повышения процентных ставок на б.п. + доход от снижения процентных ставок на 1 б.п.

CX = 10⁸ [(950,3506-950,8268)?950,8268 + (951,3032-950,8268)?950,8268] = 10⁸[-0,0005007559 + 0,0005501073] = 31,70 , константа 10⁸

Как повлияет на цену облигации повышение процентных ставок на 2% с 6% до 8%?

Используя только PV, процентные изменения в цене :

= ($950,8268 - $861,3136)/ $950,8268 = -9,41 %

Использую формулу «дюрация + выпуклость»

Включение выпуклости увеличивает точность вычислеяниям. Дюрация без выпуклости дает результат -10,02%.

Использование дюрации:

· 1. Сопоставление дюрации и целевые портфели

· 2. Разрыв дюрации и иммунизация