Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карла

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда американские ученые Н.Метрополис и С.Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой

систематически его изложили.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т.д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой а:

. Практически же поступают так: производят п испытаний; в результате которых получают п возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое

и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а * искомого числа а:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а *.

Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».

Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки а * математического ожидания а случайной величины Х было произведено п независимых испытаний (разыграно п возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: а* = . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения X, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надежностью) :

Интересующая нас верхняя граница ошибки есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и рассмотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение - известно. В этом случае с надежностью у верхняя граница ошибки

где п — число испытаний (разыгранных значений X); t — значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) == /2, — известное среднее квадратическое отклонение X.

2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с надежностью верхняя граница ошибки

где п — число испытаний; s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице значений ty == t{ ,n}.

3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n > 30) с надежностью, приближенно равной , верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (10.4.24), если среднее квадратическое отклонение случайной величины Х известно; если же -неизвестно, то можно подставить в формулу (10.4.24) его оценку s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (10.4.25). Заметим, что чем больше п, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при п —> распределение Стьюдента стремится к нормальному. В частности, при п=--100, =0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле (10.4.24) и 0,099 по формуле (10.4.25). Как видим, результаты различаются незначительно.

Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число испытаний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки , надо выразить п из формул (10.4.24) и (10.4.25):