ЭНДОГЕННАЯ СТРУКТУРА ИЗОЛИРОВАННОГО ГОРОДА[VIII]

А.В. Сидоров

Институт математики им. С.Л. Соболева, СО РАН

Введение

Слабость традиционной теории городской экономики заключается в том, что она в значительной степени основывается на модели моноцентрического города, основным недостатком которой является неспособность описать эндо­генный механизм формирования ядер концентрации занятости, даже в случае одного центра.

В отличие от работ Салливана, Виенда и Хелсли [Sullivan, 1986; Wieand, 1987; Helsley, 1991], при нашем подходе отсутствует экзогенность расположе­ния и количества вторичных центров производства. Изучаемая модель является вполне замкнутой моделью общего равновесия. Формирование вспомогатель­ных центров основано на естественном желании фирм снизить бремя город­ских издержек, а не на постулируемой склонности потребителей к большим торговым центрам, как в работе [Anas, Kim, 1996]. Предлагаемый подход в целом близок к подходу, изложенному в исследовании [Cavailhes et al., 2007] за исключением того, что мы отказываемся от упрощающего предположения о «линейном» городе в пользу более реалистичной двумерной структуры.

1. Модель изолированного города

1.1. Пространственная структура

Вообще говоря, данная модель может использоваться и для анализа эффек­тов торговли между несколькими регионами. Однако если торговые издержки

слишком велики и экспортируемые товары становятся неконкурентоспособными на «чужом» рынке, то в экономике формируется автаркическое равновесие, при котором приходится реализовывать товары на месте производства. В этом случае общее количество городов роли не играет, поэтому в данной работе будет рас­сматриваться случай одного урбанизированного региона, представляющего со­бой однородное в географическом плане двумерное пространство.

Следствием этой однородности является круговая структура центральной зоны расселения вокруг центрального делового района (Central Business District, далее - CBD), равно как и зон вокруг вторичных деловых районов (Secondary Business Districts, далее - SBD). Предполагается, что сами деловые районы не имеют значимого размера, а вся земля используется под жилье. Все вторичные зоны расселения считаются идентичными, в частности, имеющими одинаковый радиус. Как станет ясно из более подробного описания модели, это предполо­жение не является чрезмерным, поскольку отражает наиболее эффективный способ расселения, минимизирующий транспортные издержки. В дальнейшем индекс Cбудет использоваться для переменных, относящихся к CBD, в то время как Sбудет характеризовать переменные, связанные с SBD. Без ограничения общности мы можем сосредоточиться на одном репрезентативном SBD, ввиду их идентичности. Размещение будет обозначаться двумерной переменной а расстояние между двумя локациями xи у является евклидовой нормой ||x- у||. По предположению начало координат расположено в CBD, по­этому расстояния от произвольной локации xдо CBD равно ||x||, а до SBD, рас­положенного в локации

1.2. Работники

Население города составляют Lработников с абсолютно неэластичным предложением единицы труда. Их благосостояние зависит от потребления трех благ. Первое благо, производимое фирмами в городе в условиях монополисти­ческой конкуренции и возрастающей отдачи от масштаба, является горизон­тально дифференцированным, а его разновидности образуют континуум [0,n]. Второе благо является однородным и эталонным (numeraire),т.е. его цена пола­гается равной единице. Предполагается, что каждый потребитель располагает начальным запасом эталонного блага в объеме q₀. Третьим благом является земля; без ограничения общности мы полагаем альтернативную стоимость зем­ли (например, при использовании ее в сельском хозяйстве) равной нулю.

Далее, пусть q(i)обозначает количество разновидности дифференциро­ванного блага i∈[0,n],а q₀- количество эталонного блага, запрашиваемого потребителем. Располагаемый доход складывается из заработной платы и стои­мости начального запаса эталонного блага, за вычетом арендной платы за жилье и расходов на проезд до места работы. Предполагается, что эти расходы линейно зависят от расстояния и заданы величиной удельных транспортных затрат t > 0.Тем самым, бюджетное ограничение для работника фирмы, распо­ложенной в CBD, и живущего в локации х ∈X, имеет вид

где R^c (х) - ставка арендной платы за землю в локации х (на самом деле она зависит лишь от расстояния ||х|| до CBD), а w^c- ставка заработной платы работника в CBD. Аналогично, бюджетное ограничение для работника фирмы из SBD, расположенного в локации x^s, имеет вид

При этом, ставки арендной и заработной платы в SBD, вообще говоря, от­личаются от центральных.

В рамках своего бюджетного ограничения потребитель максимизирует по­лезность. Мы предполагаем, что все потребители идентичны, а функция полез­ности репрезентативного потребителя U(q₀;q(i),i ∈ [0,n]) обеспечивает одно­значную разрешимость его задачи. На данном этапе исследования конкретный вид функции полезности не играет особой роли, достаточно того, чтобы задача потребителя имела единственное решение. Полученные в данной работе резуль­таты являются инвариантными относительно выбора функции полезности. В ка­честве примеров использования конкретных функциональных форм можно упо­мянуть квазилинейную квадратичную функцию Оттавиано (см., например: [Ottaviano et al., 2002]).

где α >0, β >0, γ >0.

использовался в работах [Tabuchi, 2009; Tabuchi, Thisse, 2006]. Здесь 0 < μ 1 - по­стоянная эластичность замещения разновидностей дифференцированного блага.

1.3. Фирмы

Предполагается, что для функционирования фирмы и производства произ­вольного количества q(i)единиц разновидности дифференцированного блага i

2

требуется фиксированное количество φ единиц труда . Ввиду возрастающей отдачи от масштаба возникает взаимно однозначное соответствие между фир­мами и разновидностями дифференцированного блага. Поэтому равновесное количество фирм при полной занятости составляет n = L/ φ. Пусть θ - доля фирм, расположенных в CBD, тогда доля фирм в каждом из mидентичных SBD равна (1 -θ)/ m.

Принципиальным отличием CBD от SBD является наличие некоторых спе­цифических локальных неторгуемых общественных благ и услуг, способствую­щих более эффективному ведению бизнеса (например, маркетинговые, банков­ские и страховые услуги). Отсутствие или недостаточная степень развития этих услуг в SBD приводит к тому, что фирмы, размещенные на периферии, вынуж­дены нести дополнительные коммуникационные издержки

где Kи kположительные константы. Компонента K отражает фиксированные издержки, связанные с отсутствием в SBD данных бизнес-услуг. Кроме того, эффективное ведение бизнеса, как правило, требует регулярных личных контак­тов между представителями фирм, размещенных в CBD и в SBD. Это приводит к дополнительным издержкам фирм из SBD, связанным с этими контактами, кото­рые зависят от расстояния || x^s|| между CBD и SBD.

Через Π^c(соответственно, Π^s) обозначим прибыль фирмы, расположен­ной в CBD (соответственно в SBD). Тогда для фирмы, расположенной в CBD,

²Формально более общим является предположение о том, что при производстве единицы разновидности дифференцированного товара дополнительно требуются затратить c ≥ 0 единиц эталонного товара. Однако без ограничения общности можно полагать с= 0 (см., например: [Ottaviano et al., 2002]).

где I(i)- выручка фирмы от продажи запрашиваемого объема выпускаемой разновидности блага, а w^c- ставка заработной платы работников в CBD. Аналогично, прибыль той же фирмы составит

если она выберет размещение в SBD, с учетом того, что ставки заработных плат в центре и на периферии города могут (и будут) различаться. Это отражает комп­ромисс, с которым сталкивается фирма, выбирая место размещения, между до­полнительными коммуникационными издержками в SBD и необходимостью платить более высокую (что будет показано ниже) зарплату своим работникам в CBD.

Отметим, что само по себе наличие этих зон не означает, что они обяза­тельно будут заняты. Выбор фирмой своего местоположения является свобод­ным и определяется на основе учета всех затрат и выгод. Иными словами, внут­ренняя структура города носит эндогенный характер.

2. Децентрализация производства

Равновесием в замкнутом городе является такое состояние, при котором:

• каждый индивид максимизирует свою полезность в выбранном месте поселения;

• каждая фирма максимизирует свою прибыль в выбранном месте раз­мещения;

• на всех рынках достигается баланс спроса и предложения;

• никто не имеет стимулов к перемене места размещения, т.е. возникает баланс между различными типами издержек (для фирм) и ставками арендных и заработных плат во всех районах города.

2.1. Рабочие места, арендные

и заработные платы

В пределах города работник выбирает место работы/жительства, макси­мизируя функцию полезности U(q₀,q(i);i∈[0,n]) при соответствующих бюд­жетных ограничениях (1) или (2). Пусть Ψ^c (x) и Ψ^s (x) - арендная плата в локации x ∈X, предлагаемая работниками из CBD и SBD соответственно. Зем­

ля передается индивиду, предложившему максимальную ренту. Кроме того, со­гласно сделанному выше предположению, альтернативное использование земли (например, в сельском хозяйстве) имеет нулевую альтернативную стоимость. Тем самым

Без ограничения общности мы полагаем, что репрезентативный SBD рас­положен на положительной полуоси абсцисс. Обозначим через у радиус облас­ти, образованной местом поселения работников из CBD, а x ^s>0 характеризу­ет расположение SBD. В силу выбора начала координат и ориентации осей это размещение теперь выражается положительной скалярной величиной, равной расстоянию между SBD и CBD.

Предположим вначале, что доля фирм в CBD θ и количество SBD mяв­ляются заданными. Тогда

Совокупные расходы на дифференцированное и эталонное благо в состоя­ния равновесияолжны быть одинаковы для любой лока-

Тем самым различие ставок заработных плат в CBD и SBD в точности ком­пенсирует в равновесии разницу в транспортных расходах. Разница w^c—ιr^sпо­ложительна, еслт.е. если численность населения зоны CBD пре­

восходит численность населения каждой зоны SBD.

Наконец, в силу линейности транспортных расходов относительно расстоя­ния для произвольной локации х ∈Xобщая функция арендной платы имеет вид

Для того чтобы модель стала экономически замкнутой, осталось ответить на два вопроса: (а) откуда берется начальный запас q₀эталонного блага и (б) кто присваивает арендную плату? Предположим, что городская земля на­ходится в коллективной собственности горожан, и после сбора совокупной ренты она равными долями распределяется между всеми жителями, финансируя приобретение начального запаса эталонного блага q₀. Используя выражения (3), (5) и (6), получаем, что

2.2. Ставки заработной платы

и структура города

из которого следует, что неравенство φt — к > 0 является необходимым усло­вием существования решения. Отметим, что из противоположного неравенства φt ≤ к следует заведомая неэффективность вынесения производства на пери­ферию, поскольку предельные коммуникационные издержки настолько велики, что фирме выгоднее компенсировать в зарплате транспортные издержки работ­

ников, живущих на окраине, чем переносить производство к месту их прожи­вания.

В дальнейшем будем предполагать, что выполнено неравенство

В этом случае определим следующие величиныи

Величина δ характеризует относительную разницу между транспортными издержками φtвсех работников фирмы и ее предельными ком­муникационными издержками. Чем больше значение δ, тем сильнее стимулы к переносу производства из центра на периферию. Содержательный смысл вели­чины L, равной максимальной численности населения, при которой сохра­няется моноцентрическая структура города, становится ясен благодаря следую­щему утверждению.

Предложение 1.

1) Еслтогда уравнение (8) разрешимо лишь

т.е. город является моноцентрическим.

2) Если выполнен. то при любом m ≥ 1 уравнение (8) имеет един­ственное решениет.е. существует единственное равновес­

ное распределение фирм между CBD и всеми SBD. При этом равновесная доля фирм в CBD θ (m, L) является убывающей функцией относительно численности населения L и количества SBD m.

2.3. Эндогенизация количества SBD:

возможные подходы

Предыдущие рассуждения проводились в предположении о том, что коли­чество SBD m ≥ 1 задано экзогенно. Изучим вопрос о возможности его эндоген­ного определения. Ответ не столь однозначен и связан с характером «политики развития города», проводимой городскими «властями», ответственными за раз­витие города (так называемые «City Developers»). В частности, многое зависит от того, существует ли принципиальная возможность введения в городскую струк­туру дополнительного SBD. Если такой возможности нет, то мы остаемся в рам­ках модели с экзогенным числом m(как, например, в работе [Cavailhes et al., 2007]) и эндогенность структуры города сводится к эндогенности распреде­ления долей фирм (и/или работников) между деловыми районами. Возможны,

однако, и другие ситуации, при которых происходит экстенсивное развитие го­родской инфраструктуры.

2.3.1. Ограничение на размер

Предположим теперь, что размер зон расселения вокруг SBD ограничен в силу каких-либо причин. Это могут быть как чисто географические причины, так и социально-экономические. Например, если время пути к месту работы с окраины превышает некоторое предельно допустимое значение, скажем 1,5-2 часа, то подобные социальные издержки практически невозможно компенсиро­вать низкой арендной платой или высокой заработной платой. В этом случае можно снизить «издержки скученности», совершенствуя городскую инфраструк­туру, например, путем увеличения количества SBD.

Итак, предположим, что задан экзогенный параметр, характеризую­щий максимально допустимый радиус SBD. Тогдаравно

максимальной численности населения SBD и условие допустимости можно записать следующим образом:

где- решение уравнения (9). По достижении границы допусти­мости, т.е. при выполнении равенствапринимается решение

о расширении структуры города (увеличении m).

Предложение 2.

Минимально необходимое количество SBD

На практике, разумеется, потребуется округлить значение т* вверх. От­метим, что полученное выше выражение для т* является возрастающей функ­цией, как относительно населения города L(что вполне естественно), так и от­носительно величины удельных транспортных затрат t(отметим, что параметр является возрастающей функцией относительно t). Оба этих теорети-

ческих вывода вполне согласуются с эмпирическими свидетельствами (см. [MacMillen, Smith, 2003]).

2.3.2. Рост благосостояния и цена роста

Предположим теперь, что при принятии решения о возможном развитии городской инфраструктуры (т.е. увеличении количества вторичных деловых рай­онов с mдо m + 1) городские власти исходят из соотношения известных им затрат на это развитие, Dи выгод выраженных в приросте благосостояния населения всего города, Величина V_mобозначает ин­

дивидуальное благосостояние жителя полицентрического города с m ≥ 0 SBD (случай m = 0 соответствует моноцентрическому городу), определяемое следу­ющим образом (см. [Cavailhes et al., 2007]):

где CS- излишек потребителя в равновесии; w- равновесная заработная плата; q₀- начальный запас эталонного товара, а C_u- городские издержки, равные сумме арендной платы и транспортных издержек^[9]. Заметим, что при

город останется моноцентрическим в любом случае, поэтому вопрос об эффек­тивности развития городской инфраструктуры путем увеличения числа mиме­ет смысл лишь в случае

Предложение 3.

Для любого m ≥ 0 прирост благосостоянияΔ_mположителен и стремит­ся к нулю при

Таким образом, экстенсивное развитие городской инфраструктуры оказы­вает положительное влияние на благосостояние жителей, однако этот эффект довольно быстро сходит на нет. Как только снижающийся прирост обществен­ногоблагосостояниястанет меньше общественных затрат на развитие D_m

(которые могут даже возрастать по m), потенциал экстенсивного развития бу­дет исчерпан и количество «эффективных» SBD определится эндогенно.

2.4. Иерархическое «расширение» модели

Нетрудно понять, что количество вторичных деловых районов «равновес­ного» размера, которые можно разместить без наложения, может быть весьма ограниченным. Является ли этот теоретический максимум серьезным препятст­вием при исследовании данной модели? Вовсе нет. Децентрализация размеще­ния производства может развиваться вглубь, формируя деловые районы более низкого ранга: третичные деловые районы (TBD), четвертичные (QBD) и т.д.^[10]Рассмотрим подробнее трехуровневую модель, которая легко обобщается на иерархии произвольной сложности. Пусть имеется m₁идентичных SBD, каж­дый из которых окружен идентичными TBD в количестве m₂. Далее, пусть θ₀ обозначает долю фирм, расположенных в CBD, θ₁- доля фирм, расположенных в каждом SBD, а θ₂- доля фирм в каждом TBD.

Предложение 4.

Если выполнено условието для любой иерархической структуры

(m₁ ,m₂) существует единственное равновесие и соответствующие доли фирм равны

Таким образом, данная иерархическая структура, по существу, эквивалент­на двухуровневой модели с «эффективным числом» SBD

Дальнейшая децентрализация вглубь приводит к тому, что последовательность неограниченно возраста­ет по n, даже если все m_iограничены в совокупности. Таким образом, более глубокая степень децентрализации производства может сделать несуществен­ным формальное экзогенное ограничение сверху на количество SBD.

Литература

Anas A., Kim I. General Equilibrium Models of Polycentric Urban Land Use with Endogenous Congestion and Job Agglomeration // Journal of Urban Economics. 1996. 40. Р. 217-232.

Cavailhes J., Gaigne C., Tabuchi T., Thisse J.-F. Trade and the Structure of Cities // Journal of Urban Economics. 2007. 62. Р. 383-404.

Helsley R.W., Sullivan A.M. Urban Subcenter Formation // Regional Science and Urban Economics. 1991. 21. Р. 255-275.

MacMillen D.P., Smith S. The Number of Subcenters in Large Urban Areas // Journal of Urban Economics. 2003. 53. Р. 321-338.

Sullivan A. A General Equilibrium Model with Agglomerative Economies and Decentralized Employment // Journal of Urban Economics. 1986. 20. Р. 55-74.

Ottaviano G.I.P., Tabuchi T., Thisse J.-F. Agglomeration and Trade Revised // International Economic Review. 2002. 43. Р. 409-436.

Tabuchi T. Self-organizing Marketplaces // Journal of Urban Economics. Elsevier, 2009. Vol. 66(3). P. 179-185.

Tabuchi T., Thisse J.-F. Self-organizing Urban Hierarchy: CIRJE F-Series CIRJE-F-414. CIRJE. Faculty of Economics. University of Tokyo, 2006.

Wheaton W.C. Monocentric Models of Urban Land Use: Contributions and Criti­cism // Current Issues in Urban Economics / P. Mieszkowski, M. Straszheim (eds.) Balti­more: Johns Hopkins Press, 1979.

Wieand K. An Extension of the Monocentric Urban Spatial Equilibrium Model to a Multicenter Setting: The Case of the Two-center City // Journal of Urban Economics. 1987. 21. Р. 259-271.