4.4. Единовременные нетто-ставки страхования жизни

Единовременная нетто-ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования. Страхователь сразу при заключении договора погашает свои финансовые обязательства перед страховщиком.

4.4.1. Единовременная нетто-ставка на дожитие

Договор страхования на дожитие определяется следующими параметрами: x – возраст застрахованного на момент заключения договора, n - срок, на который заключается договор страхования. Под страховым случаем понимается факт дожития застрахованного до возраста x+n. При наступлении страхового случая застрахованный получает страховую сумму, оговоренную в договоре.

Тарифная нетто-ставка на дожитие в страховой литературе имеет стандартное обозначение nEx . Для того чтобы разделять годичные от единовременных нетто-ставок, будем добавлять в это обозначение соответствующий верхний символ: nEx(e) – единовременная нетто-ставка на дожитие с 1 рубля страховой суммы.

Для определения этой тарифной ставки представим процесс страхования как поток наличности. Предположим, что договоры

страхования заключили все лица возраста x из табл.4.1 смертности. Это предположение не умаляет общности рассуждений. Тогда в начальный момент времени  t=0 , соответствующий времени подписания договора, сумма денежных поступлений в компанию составит величину  lx· nEx(e) .

Рис. 4.1.

В силу принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя текущая стоимость A (0) на начальный момент времени этого потока наличности равна нулю, т.е.

A(0) = V0·lx·nEx(e) - lx+n ·V n = 0 .                                           (4.9)

Решая уравнение (4.4.1) относительно неизвестной nEx(e), получим

=    .                                                                 (4.10)

Представим правую часть формулы (4.10) с помощью коммутационных чисел, для этого её числитель и знаменатель умножим на число V x :

= =    .                                    (4.11)

Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель формулы (4.11) выражаются согласно (4.4) через коммутационные числа

=      .                                                              (4.12)

Таким образом, вычисление нетто-ставки сводится к простому использованию таблицы коммутационных чисел.

Пример 4.1. Найти брутто-ставку на дожитие с 1 рубля страховой суммы от возраста 45 лет сроком на 15 лет при норме доходности i = 0,03. Доля нагрузки равна 30%.

Решение. Согласно таблице коммутационных чисел D45+15 = 13 008. D45 = 23 161.

= = 0,56.

Таким образом, нетто-ставка составляет 56 коп. с 1 рубля страховой суммы. Высокая тарифная ставка объясняется низкой нормой доходности. Брутто-ставка находится по формуле (2.0)

Тб = = 0,81.

4.4.2. Единовременная нетто-ставка на случай смерти

Договор определяется возрастом застрахованного x и сроком действия n. Под страховым случаем понимается факт смерти застрахованного в течение срока действия договора. В конце каждого года срока страхования выплачивается число страховых сумм, равное числу застрахованных, умерших в течение данного года.

Тарифная ставка этого вида страхования обозначается символом  .

Поток наличности, описывающий данный процесс страхования, определяется следующими показателями: при t = 0 поступает сумма тарифов от lx застрахованных в объеме ·, при t = 1 выплачивается сумма dx ·1руб. и т.д. при  t= n выплачивается  сумма  dx+n-1 ·1 руб. Данный поток наличности графически изображен на рис.4.2.

0

Рис.4.2.

Текущая стоимость A(0) на начальный момент времени представляет собой алгебраическую сумму текущих стоимостей каждой составляющей:

.

В силу принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя , т.е.

·

или

                                                                (4.13)

   Здесь, как и в предыдущем случае, предполагалось, что застраховалось все множество лиц , доживших до возраста x согласно табл.

Поставим теперь задачу выразить формулу (4.13) через коммутационные числа. Для этого умножим числитель и знаменатель из (4.13) на величину V x : .                      (4.14)               Формула (4.14) получена на основании определений (4.6) и (4.4) коммутационных чисел Cx и Dx.

Далее числитель из формулы (4.14) также можно выразить через коммутационные числа Мx согласно (4.7) с помощью так называемой операции " прибавить и отнять":

-

-                                                          (4.15)

Здесь, как и всюду, w — предельный возраст таблицы смертности. Подставляя формулу (4.15) в (4.14), окончательно получим

                       (4.16)

  Формула (4.16) представляет собой единовременную нетто-ставку на случай смерти с 1 рубля страховой суммы.

Пример 4.2. Найти тарифную ставку на случай смерти от возраста x = 30 лет на срок 20 лет со 100 000 рублей при норме доходности i = 0,03 и доле нагрузки 25%.

Решение. Найдем вначале нетто-ставку с 1 рубля страховой суммы по формуле (4.16):

.

Брутто-ставка с 1 рубля страховой суммы равна

Тб .

Тарифная ставка с 100 000 рублей страховой суммы равна 6 000 рублей.