Модель

Предположим, что доходы индивидуумов зависят только от их способности к заработку (w) и от количества лет полученного образования (D), т.е. предполагается, что время работы (усилий) фиксировано.

D+Q

\\Z- T(Z)]e'“du.

D

Поскольку Zпостоянна во времени, вышеприведенное выражение пропорционально

              X = \Z- T(Z)\erD,              (13-4)

Таким образом, он выходит на пенсию через D + Q года после начала своего образования. Это означает, что люди с большим образованием выходят на пенсию в более позднем возрасте. Эту формулу можно преобразовать за счет определенных Дополнительных усложнений в выражение, дающее нам общий возраст выхода на пенсию.

где фактор пропорциональности (1 -erQ)/r. Единственное различие между индивидуумами состоит в их способности к заработку и в последующем выборе D.

Предполагается, что налоговая схема имеет линейный характер, поэтому, как указывалось в предыдущих лекциях, имеется гарантированный доход G и постоянная маржинальная налоговая ставка, обозначенная через Г.

T(Z) = tZ-G              (13-5)

где имеется негативное приложение к налогам (Тlt; 0) для Z lt; G/t. Предполагается, что налогом облагается исключительно доход в форме заработной платы и процент налогом не облагается (налоговая политика в области сбережений описывается в Лекции 14). Гарантированный доход G не выплачивается в период обучения. Если предположить, что имеется равное количество людей с одинаковым распределением w в каждой возрастной группе и что доход R, требуется на группу людей, то ограничение правительственного бюджета выражается как:

i T(Z)dF=R»,

W              (13-6)

где кумулятивное распределение людей с различными способностями равно F( w), a w означает самый низкий уровень способностей.

Как и в случае с налоговой проблемой Рамсея, имеется двухэтапный процесс максимизации. Индивидуум, сталкивающийся с налоговыми параметрами tn G, выбирает уровень образования D для максимизации %. Затем правительство выбирает t и G в свете данной реакции. Мы начинаем с проблемы данного индивидуума и еще более ее упрощаем, предположив, что Z(w, D) = wD, т.е. что доходы пропорциональны годам обучения. Затем цель сводится к тому, чтобы максимизировать

X = [G+ (1 - 0 wD] erD,              (13-7)

зависящее от D ? 0. Беря логарифм и дифференцируя по D, мы получаем

1 дх _              (1 - 0 w

X дЛ G+ (1-4 wD После преобразований данное равенство может выглядеть как

tG

оЛ

г (1 - f) w

для w gt; у—^ (= gt;v0)

(13-8b)

D = 0 для w lt;, w0. Результирующий уровень x представлен как

rG

-1 + log

logX =

(13-9a)

ДЛЯ WZ Wq

(1-Ow

= log G для w lt; w0.              (13-9b)

Можно отметить, что при отсутствии налогообложения каждый выбрал бы одинаковый уровень D; воздействие налогообложения сводится к расширению подоходных дифференциалов до вычета налогов при одновременном сужении дифференциалов после вычета налогов.

Выбор, доступный правительству

Если мы задумаемся о воздействии поведения индивидуумов на правительственный выбор t и G, то становится очевидным, что ограничения доходов могут принять одну из двух форм. В первом случае (А) уровень w0 устанавливается таким образом, что все индивидуумы имеют Dgt;Q (т.е. w gt; w0). Затем мы можем произвести подстановку из (13-8а) в ограничение доходов. Если мы нормализуем так, что J dF- 1, то

W

G+Ro = t?

т'w G л

г 1 -t

dF.

(13-10)

Обозначив как w среднюю величину w и преобразовав, мы получим

г              (13-11)

Во втором случае (В) некоторые индивидуумы выбирают D- 0 (w lt; wQ). В таком случае ограничения по доходам выглядят следующим образом:

мы можем переписать это выражение как

Это неявное выражение для G (которое вводится через w0), и оно совершенно очевидно сложнее, чем случай А.

Из ограничений по доходам, которые стоят перед правительством в случае А, можно построить график меню выбора, как на рис. 13-1. При / = 0 доход должен быть повышен за счет подушевого налога (Glt;0). Наклон кривой ограничения получен за счет

dG „              ~ w

, = Лл + (1 — 2 0 —,

dt              } ґ              (13-15)

так что сначала она является положительной, потом отрицательной, a G достигает максимума при ставке налога, превышающей 50%. Для применения случая А нам необходимо, чтобы w0 lt; w, что удовлетворяется при

t lt; W / W + rRc / w,

где мы использовали (13-8а) и (13-11). Таким образом, если потребность в поступлениях составляет 20% среднего дохода при отсутствии налогообложения, а самая низкая способность равняется 50% от средней, тогда случай А применим для налоговых ставок до 70%.

В качестве предпосылки к решению правительства предположим прежде всего, что оно стремится максимизировать пожизненный доход «репрезентативного» индивидуума с заработной платой w\ Из (13-9) мы видим, что если у индивидуума, то он может ранжировать комбинации G и г в соответствии с:[179]

х"s log х - log “7 + 1 = тг~ : + log (1 - о.

г (1 -I) w              (13-16)

За счет этого мы получаем кривую безразличия типа изображенной на рис. 13-1. В частности, наклон кривой х = const получен за счет:

dG w G

dt г 1 -t              (13-17)

Проводя оценку при / = 0, где G = -R0, мы видим, что наклон больше, чем у ограничения по доходам (полученного из (13-15), где w* gt; w. Из этого следует, что если репрезентативный индивидуум оказывается выше среднего уровня, он не будет отдавать предпочтение использованию подоходного налога. Если репрезентативный индивидуум оказывается ниже среднего уровня, то мы получаем ситуацию, проиллюстрированную диаграммой 13-1, где у него есть предпочтительная налоговая ставка, которая является строго положительной.

п              /1 w              w*              G              w"              п              tw

Rn + (I - 2i) —              —              “              —              + Rn —              ,

^              г              г              l -t              r              ^              r              (13-18)

где второй шаг использует (13-11). Из этого следует, что выбранная f = 1 - w* /w, так что по мере того как зарплата падает ниже средней величины, выбранная налоговая ставка линейно растет. В рамках ограничений человек с самой низкой заработной платой w выбирает f = 1 - w/w (где это целесообразно в случае А). Это отличается от максимизации G, поскольку, как становится очевидно из (13-16), индивидуум с самой низкой заработной платой также заинтересован в снижении налоговых ставок, и ему приходится выбирать или одно, или другое. В случае В индивидуум с самой низкой заработной платой не имеет дохода до вычета налога и его интересует только максимизация G.

Кривая безраличия J индивидуума I при w lt; w

при w lt; w

G

/

/

/

/

/

Ч)

Рис. 13-І. Целесообразные системы налогообложения и индивидуальные предпочтения.

Ограничения по доходу