Отношение к риску

В соответствии со свойствами предпочтений можно разделить экономических агентов на следующие три группы в зависимости от их отношения к риску:

рискофилы (положительно относящиеся к риску): Е(и(Х)) > и(Е(Х)),

рискофобы (отрицательно относящиеся к риску): Е(и(Х)) < и(Е(Х)),

нейтральные по отношению к риску: Е(и(Х)) = и(Е(Х)).

Здесь Х — любая "нетривиальная" случайная величина (формально это означает, что вероятность того, что она не совпадает со своим мат.

В дальнейшем мы будем рассматривать только поведение рискофоба. (Анализ поведения рискофила и потребителя, нейтрального по отношению к риску представляется читателю).

Заметим, что соотношение Е(и(Х)) ^ и(Е(Х)) (так называемое неравенство Йенсена) выполнено тогда и только тогда, когда функция вогнута. Фактически это и есть определение вогнутой функции. Строгое неравенство Е(и(Х)) < и(Е(Х)) для произвольной "нетри-

виальной" случайной величины ХХ выполнено тогда и только тогда, когда функция строго вогнута.

При анализе поведения рискофоба ограничимся рассмотрением инвестиционных решений, когда множество элементарных исходов — подмножество множества действительных чисел; элементарные исходы (выигрыши по лотереям) будем интерпретировать как денежные.

Пусть имеется два актива: безрисковый, не приносящий дохода (это могут быть, например, деньги в ситуации, когда инфляции нет и она не ожидается) и один рисковый с нормой доходности R и ожидаемой нормой доходности Е!. У потребителя имеется сумма w, из которой он сумму а инвестирует в рисковый актив, а сумму w - а — в безрисковый. Доходность полученного портфеля — случайная величина W = w - а + (1+R) а = w + а R.

Ожидаемая полезность такого портфеля равна

U(a) = Е(и(" + aR)) =Е pu-(w + aRj).

Мы предполагаем, что финансовый рынок совершенен, т.е. доходность активов не зависит от поведения рассматриваемого экономического агента, и что можно покупать активы в любых количествах без учета бюджетного ограничения («открытая» позиция по рисковым активам).

Поведение инвестора описывается следующей задачей: U(a) ^ max a > 0.

Кроме того, предполагается, что оптимальный портфель существует, то есть U(a) не может быть монотонно возрастающей.

существует существует

Решение распадается на два случая: Е R < 0 и Е R > 0. Найдем производную U(a) в точке a = 0: U'(a) = Е^'^ + all )R) Вторая производная U ''(a) = Е(u//(w + aR)R ) < 0, так как мы знаем, что вторая производная функции полезности рискофоба отрицательна в любой точке.

Если a = 0 — решение, то должно быть выполнено U '(0) < 0. Поскольку производная в нуле равна U '(0) = Е^'^) R) = u'(w) Е R, и u'(w) > 0, то Е R < 0.

С другой стороны, если Е! < 0, то U '(0) < 0. Так как U ''(a) < 0, то U '(a) < 0 Va > 0 и U (a) < U (0) Va > 0. Следовательно, a = 0 — решение. Таким образом, a(w) = 0 ^ Е R < 0.

Оптимальный портфель в точке а=0

Если Е R > 0, то решение (в предположении, что оно существует) должно быть во внутренней точке (а > 0). Так как мы рассматриваем рискофоба, то необходимое и достаточное условие оптимальности портфеля имеет вид Е(и (w + aR)R) = 0. Для оптимальных портфелей

Е(и' (w + a(w)R)R

) = 0.

В зависимости от того, как меняется инвестиционное поведение при изменении имеющиеся для инвестиций средств с wi до w2, можно проранжировать поведение риско- фобов по их степени неприятия риска.

Рассмотрим лотерею, в которой участник получает (дополнительно к w) выигрыш х1 с вероятностью р (где _ре(0,1)), и х2 с вероятностью 1-р. Обозначим соответствующую случайную величину через X. Имеет смысл принять участие в лотерее лишь в том случае, если

Е(и (w + х)) ^ Е и (w).

т.е.

р и (w + х1) + (1-р) и (w + х2) ^ и (w).

Обозначим множество всех таких лотерей через

A(w) = 5 (Xi, х2) |р и (w + Xi) + (1-р) и (w + х2) ^ и (w)}.

Нарисуем на плоскости (х1, х2) множество A(w). Потребитель будет участвовать во всех лотереях, расположенных в I квадранте, и точно не будет участвовать в лотереях в III квадранте, а вот в II и IV приемлемы лишь частично. Если элементарная функция полезности и (.) вогнута, то множество A(w) выпукло. (Докажите это.) ii х2

х1 >

х2(х1)

Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:

PU(W + х1) + (1 - р) U(W + х2) = и(ю ) (1)

Это уравнение задает зависимость х2 = х2 (х1).

Это уравнение описывает касательную к A(w) в точке (0,0). Эта касательная имеет нар

клон - 1_р Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат A(w). Таким образом, если х2 будет

р

меньше, чем - ^ xi, то участник заведомо не примет участия в такой лотереи (какова бы

ни была вероятность р).

Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежа-

i 2 2 1 щие множеству A (w), а второй — A (w). Если A (w) с A (w) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый. Х2

2 112 Если ни одно из включений A (w) с A (w) и A (w) с A (w) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило. Продифференцируем выражение (1) по x1 дважды в точке 0. Получаем р u''(w) + (1 - р [ u''(w) (x'2(0))2 + u'(w) x''2(0)] = 0 u''(w)

2.

Подставив x'2 (0) = - ^ , получим x''2 (0) =

-р " ' u'(w) (1-р

12

Мы убедились, что уравнения границ множеств A (w) и A (w) по первым производным

всегда совпадают, а по вторым могут различаться. Если x''2 (0) у первого меньше, чем у

21

второго, то в окрестности точки (0,0) A (w) содержится в A (w). (Понятно, что глобально

u''(w)

это может не выполняться). Поэтому величину - u'(w) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Определение 5.

Мерой отношения К риску Эрроу-Пратта называется величина u''(w)

u'(w)'

г (w) = - В терминах меры Эрроу-Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эрроу-Пратта всегда больше.

Утверждение 7.

12

Если у двух участников меры неприятия риска г (.) и г (.) таковы, что Vw выполнено

12 2 1 г (w) < г (w), то Vw выполнено A (w) с A (w).

Доказательство:

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Пусть е — некоторая "нетривиальная" случайная величина с нулевым мат.

Определение 6. ^

Плата За риск ки(е) определяется из соотношения \

Eu(w +е) =u(w-КиШ- ::

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Для любого рискофоба плата за риск — величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах платы за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого плата за риск всегда больше.

Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску — "степень вогнутости" элементарной функцией полезности. Можно считать, что и (х) "более вогнута", чем %(х), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G такая, что и (х) = G(v(x)), тогда участник с элементарной функцией полезности и (х) характеризуется большим неприятием риска.

Оказывается, что все предложенные способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение.

Утверждение 8. (Теорема Пратта).

Пусть два рискофоба характеризуются строго возрастающими элементарными функциями полезности и (х) и %(х). Тогда следующие три условия эквивалентны: &u(w) > &v(w) Vw, где &u(w), &v(w) — меры отношения к риску Эрроу-Пратта. Существует строго вогнутая строго возрастающая функция G такая, что и (х) = ((%(х)). Для всех случайных переменных е, с нулевым мат. ожиданием (Ее = 0) и ненулевой дисперсией (Ее2 Ф 0) выполнено Пи(е) > Пу(е).

Плата за риск пи(е,ю) Доказательство;

1^2. Определим G для любого х принадлежащего области значений функции % следующим образом:

((х) = и(% 1(х)). (Поскольку % строго монотонна, то она обратима.) Мы так определили функцию G(.), что

U(W) = G(%(w)),V w (2)

Продифференцируем последнее соотношение:

u'(w) = G'(%(w)) %'(w). (3)

Так как %'(w) > 0 и u'(w) > 0, то G'(%(w)) > 0, значит G строго монотонно возрастает. Продифференцируем еще раз:

u''(w) = G''(%(w)) %'(w) +G'(%(w)) %''(w). (4)

Поделив (4) на (3) , получим

G''(%(rn)) , - гиМ = - гv(w) + G'(v(m )) % (w) то есть

G''(%(rn)) , гv(w) - = G'(v(a>)) %(w).

Но гv(w) - ^(w) < 0, %'(w) > 0, G'(%(w)) > 0, следовательно, G''(%(w)) < 0, то есть функция G строго вогнута.

^ 3. Напомним определение вогнутости функции: функция /(x) вогнута, если для любого набора чисел « ^ 0, ?гаг- = 1 верно соотношение: / (Еал) ^ (x/). Для строго вогнутой функции для любого набора чисел аг- ^ 0, Хгаг- = 1, таких что по крайней мере два из них не равны нулю, верно соотношение: / (Еал) > Хгаг- f (x;).

Пусть функции u(x), %(x) таковы, что u (x) = G(%(x)). Тогда для случайной величины е : u (w - пи(е)) = Е и (w + е) = Е G(%(w + е)) <

G^ %(w + е)) = G(%(w - nv(e)) = и (w - nv(e)).

Здесь мы использовали неравенство Иенсена в строгой форме.

Таким образом, u (w - пи(е)) < и (w - nv(e)), а так как u(x) монотонно возрастает, то из этого соотношения следует, что w - пи(е) < w - nv(e), то есть пи(е) > nv(e).

^ 1. Пусть е — случайная величина с нулевым мат. ожиданием (Ее = 0). Рассмотрим семейство случайных величин + е и определим п(+) из соотношения:

u (w - п(+)) = Е и (w + + е) (5)

Покажем, что для достаточно малых + п(+) пропорциональна мере Эрроу-Пратта, что и докажет соответствующее утверждение.

Предположим, что функция п(+) — дважды непрерывно дифференцируема. Справедливо соотношение

п(+) = п(0) + + п'(0) + F?7 +2 п''(0) + о(+2 ).

Покажем, что первые два слагаемых в правой части равны нулю. Очевидно, что п(0) = 0. Дважды продифференцируем (5) по +:

u'(w - п(+)) п'(+) = Е u'(w + + е)е, (6)

u'(w - п(+)) п''(+) + u''(w - п(+)) (п'(+))2 = Е u''(w + + е)е 2. (7)

При +=0 из (6) имеем:

u'(w) п'(0) = Е u'(w) е = u'(w) Е е = 0.

Поскольку u'(w) не может быть равной нулю (напомним, что мы предполагаем монотонность и(.)), то п'(0) = 0.

Из (7) при + = 0 получаем:

u'(w) п''(0) = u''(w) Е е 2 = u''(w) о2,

откуда п''(0) = ^(w) о2.

Подставим полученные результаты в ряд Тейлора

22

+ о о

п(+) = ^(w) — + о(+2 ). (8)

Пусть для каких-то и, % выполняется пи(е) > л^е) Vе, тогда при достаточно малом + пи(+) > nv(+), и из (8) имеем ги > гv.

Введенная мера Эрроу-Пратта называется абсолютной мерой Эрроу-Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру Эрроу-ПрЭТТЭ, которая определяется по формуле:

u''(w) w u'(w)

Относительная мера Эррроу-Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу).

Меры Эррроу-Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, т.к. в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т.д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т.д.

В терминах (абсолютной) меры Эрроу-Пратта можно охарактеризовать спрос на рисковый актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов. Мы предполагаем, что Е R > 0, т.е. что решение внутреннее (a (w) > 0).

Утверждение 9.

Если мера Эрроу-Пратта г (w) убывает, то рисковый актив является нормальным благом, т.е.

&'(w) < 0 ^ a'(w) > 0.

(Аналогично можно показать, что если r'(w) > 0, то a'(w) < 0, и если r'(w) = 0, то a'(w) = 0.)

Доказательство:

Пусть r(w) убывает.

Условие оптимальности портфеля имеет вид

Е (u'(w + a(w) R) R )= 0. Продифференцируем его по ю:

Е (u''(w + a(w) R) R (1 + #'(w) R)) = 0. По свойствам оператора мат. ожидания

Е (u"(w + a(w) R) R) = - a'(w) Е (u''(w + a(w) R) R ),

откуда

#/(w) = < E (u''(w + a(w) R) R) ( ) E (u"(w + a(w) R) RR2). Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u''(w + a(w) R) < 0 . Покажем, что числитель больше нуля.

Рассмотрим случайную величину R: она имеет и положительные, и отрицательные реализации. Рассмотрим случай R = R >0. Тогда в силу убывания функции г (.) г (w + a(w)R) < г (w). По определению меры Эрроу-Пратта

, ч u"(w + a(w)R) „ ч

& (w + a(w)R) = - u-('w + a(w)R) < г (w)

Умножив последнее неравенство на знаменатель и на R, получаем:

u"(w + a(w)R) R > - г (w) u'(w + a(w)R) R. Легко видеть, что при R = R < 0 это неравенство тоже верно. Возьмем мат. ожидание от обеих частей:

Е (u"(w + a(w) R) R) > - г (w) Е (u'(w + a(w) R) R). Так как из условия оптимальности Е (u'(w + a(w) R) R) = 0, то имеем

Е (u''(w + #(w) R) R) > 0. Итак, доказано, что если /(w) < 0, то a'(w) > 0, другими словами, рисковый актив является нормальным благом.

Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая с двумя и более рисковыми активами.

Пусть «i — доля инвестиций в ,-й рисковый актив, а0 — доля инвестиций в безрисковый актив . Пусть Ri — доходность рискового актива, R0 — доходность безрискового актива.

Доходность портфеля, в который инвестируется денежная сумма w, — это случайная величина, которая может быть вычислена следующим образом: w = (ао!о + Еа- R -) w,

Если предпочтения инвестора на соответствующих лотереях представляются функцией полезности и(.) и инвестор может взять взаймы под процент R0-1 в неограниченных размерах, задача выбора оптимального портфеля будет иметь вид:

Е и(ао!о Ri) w) ^ max а а

0i

а0 + Еаг- = 1 а- > 0

Исключив а0, преобразуем задачу инвестора к виду

Е u(Ro +Еаi(JR - - Ro) w) ^ max а ^ q Условие оптимальности первого порядка этой задачи Е u'(w )(R - - Ro) = 0,

или

Е u'(w)Rj- = R0 Е u'(w) V,. В силу свойств функции u(.), оно является достаточным условием оптимальности портфеля.

По определению ковариации для двух случайных величин ^ и п выполнено Е(^п) = COv(^,n) + Е(^)Е(п). С учетом этого соотношения условия оптимальности можем записать в виде

5 COv(u'(w), R)

Е R- = R0 - I- .

' 0 Е u'(w)

Полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его доходностью, но и величиной его корреляции с доходностью всего портфеля.

Так, например, у страховых полисов ожидаемая доходность, как правило, меньше нуля, но они включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом.

Тесты и задачи для самостоятельного решения

1. Покажите, что если абсолютная мера Эрроу-Пратта неприятия риска убывает, то и'''<0. Покажите, что обратное неверно.

Приведите примеры элементарной функции полезности с возрастающей, убывающей и постоянной абсолютной и относительной мерой Эрроу-Пратта.

Покажите, что при увеличении объема инвестиций доля инвестиций в рисковый актив (в сумме инвестиций в оптимальный портфель) постоянна (возрастает, убывает), если относительная мера Эрроу-Пратта убывает (возрастает, постоянна).

Покажите, что в первом приближении премия за риск равна

Kw)a2/2,

где г(.) — абсолютная мера Эрроу-Пратта, а а — дисперсия лотереи.

Пусть на рынке доступны лишь два актива - рисковый и безрисковый. Как изменяется величина вложений в рисковый актив при росте суммы инвестиций, если предпочтения инвестора представляются функцией полезности Н.-М. с элементарной функцией полезности и(ю)?

Решить задачу при

(a) u(w) = -y/w; (b) u(w) = - (с) u(w) = - w;

(d) u(w) = In w; (e) u(w) = a w - - w 2; (f) u(w) = a yfw + - w.

Рассмотрим следующую игру: Если игрок называет число х, то получает w + х с вероятностью 1/3 и w - х с вероятностью 2/3. Какое число назовет рискофоб, предпочтения которого описываются функцией полезности Н.-М. с элементарной функцией полезности:

(a) u(w) = >/w; (b) u(w) = - (с) u(w) = - w ;

(d) u(w) = In w; (e) u(w) = a w - - w 2; (f) u(w) = a yfw + - w.

Некто, чьи предпочтения на лотереях описываются функцией полезности Н.-М. с элементарной функцией полезности u(w) = ^w, располагает суммой денег ю рублей. Ему предлагают приобрести лотерейный билет, выигрывающий х рублей с вероятностью 1/2. Пусть р — максимальная цена, которую он готов уплатить за лотерейный билет.

Чему равна р при w = 9 и х = 16?

Покажите, что р

растет при увеличении величины выигрыша х. растет при увеличении суммы денег w. не может превышать величину х/4 рублей.

Пусть рискофоб, предпочтения которого описываются функцией полезности Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(w) = yfw, владеет суммой денег w рублей и лотерейным билетом, выигрывающим х рублей с вероятностью 1/2. Покажите, что при уменьшении х цена, за которую он готов продать этот лотерейный билет, стремиться к величине ожидаемого (для данного рискофоба) выигрыша по этому билету.

Пусть в ситуации с двумя активами, рассмотренной выше, a(Ro) — оптимальная доля вложений в рисковый актив как функция доходности безрискового актива. Покажите, что если абсолютная мера Эрроу-Пратта растет (г'(.) > 0) и решение внутреннее (0 < a(Ro) <

дщдо'

1), то p! >0, т.е. уменьшение ДОХОДНОСТИ безрискового актива приводит к увеличению

доли вложений в рисковый актив. Указание:

Покажите, продифференцировав условие первого порядка, что da(!p) + Е («'(")) - w(l-a(!p))E Q/'(W)(!- !)) Р!о wE («''(")(!- !о)2) "

Отсюда следует требуемый результат, поскольку Е (M''(w)(!- !о)) < 0 (вследствие того, что г'(.) > 0).

10. Предположим, что (в мире С двумя состояниями) имеется один рисковый (С нормой доходности !) и один не приносящий дохода безрисковый актив. Охарактеризуйте в терминах относительной и абсолютной меры неприятия риска Эрроу-Пратта (эластичности по богатству спроса на рисковый актив) представленные на рисунке возможные структуры оптимальных портфелей при разных уровнях богатства. Линия РР' представляет совокупность фактических портфелей (при разных уровнях инвестиций в портфель), SS' (ТТ') — совокупность портфелей при условии, что портфели содержат лишь безрисковые (рисковые) активы. Линии ST (S'T') представляют совокупность допустимых портфелей при данном уровне инвестиций.

11. Как измениться структура оптимального портфеля инвестора-рискофоба, если ему доступны не приносящий дохода безрисковый актив и рисковый актив и норма доходности рискового актива изменяется следующим образом:

(а) ! 1 = (1 - А)!, Ае [0,1];

(б) !i = ! + А(!-!) = (1 + А)! - А!, где ! = Е!, Ае [0,1]

Проинтерпретируйте полученные результаты.

Проиллюстрируйте анализ для простого случая, когда есть всего два состояния природы, на диаграмме (в системе координат «богатство в первом состоянии» — «богатство во втором состоянии») .

12. Докажите, что в ситуации, когда инвестору доступны приносящий доход безрисковый и рисковый активы, налог на валовой доход (от портфельных инвестиций) увеличивает (уменьшает, оставляет постоянным) частный риск, если эластичность по доходу спроса на рисковый актив положительна (отрицательна, постоянна). Проиллюстрируйте его графически для случая двух состояний природы.

Указание: Пусть h — ставка налога, а Ow — частный риск портфеля, измеряемый среднеквадратичным отклонением валовой доходности портфеля. Тогда Ow = (1 - h) aw OR.

Дифференцируя это соотношение, получим Раю da

-р.- = -a w OR + (1 - h) w °R р..

da

Для величины р. можно получить соотношение

da = a!o Е (u''(w)(!- !o)) dh = (1-h)2 Е (u"(w)(!- !o)2).

da^_ Е (u''(w)(! - !o))

Р. = w OR !o Е (u''(w)(!- !o)2).

Литература: А.А.Аткинсон, Дж. Стиглиц. Лекции по экономической теории государственного сектора. — М.: Аспект-Пресс, 1995.

Покажите, что для элементарной функции полезности u(w) = - e bw, где - — положительное число, спрос на рисковый актив зависит только от его доходности и не зависит от уровня богатства w.

Покажите, что для элементарной функции полезности

u(w) = w1_e/(1-e), е > 0, е*1. доля инвестиций в рисковый актив (в сумме инвестиций в оптимальный портфель) не зависит от богатства.