ЛИНЕЙНО-ОДНОРОДНЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

В своем блестящем "Очерке о согласовании законов распределения” (1894) Уикстид безуспешно пытался доказать, что совокупный продукт в точности сводится к возмещению издержек каждого из производственных факторов в соответствии с их предельной производительностью.

Если производственная функция задана соотношением Л' = f(x,y, z), тогда, согласно предположению о постоянном эффекте масштаба dX dx dy dz              , — — = — = — = константа A              (1)

х х у z              v '

По теореме о пропорциях, если

^              , асе              ,              1а              +              тс              +пе

Ь = d ”7’70              “              lb              +md              +nf’

где a,... / и /,... n - произвольные действительные числа.

Применяя эту теорему к уравнению (1) посредством умножения каждой дроби на соответствующую первую частную производную от X, имеем

ЬХа ^6Хл. ^6ХА

dX _ amp;с йу ® amp;z _              lt;ЙГ              _                            ,              ,„ч

X дХ SX 6Х 6Х йХ SX= константаД’              (2)

-г-Х + -j—V + -г—Z              Х-т— + У-Т- +2-1—

amp;с ду' OZ              ох ' ay OZ

mdX- полный дифференциал X. Следовательно,

дХ t дХ t ЬХ

Х дх              У              6у              +Z lt;5z              "              ^

для всех значений              хgt;у и z.              Но первые частные производные от X, дХ/дх, дХ/ду и дХ/дz

есть предельные продукты бесконечно малых приращенийх,у иг. Таким образом, при постоянном эффекте масштаба совокупный продукт в точности равен оплате факторов производства в соответствии с их предельной производительностью.

Для иллюстрации пусть X имеет вид Axty^z*, где А — константа, а 1, т, п — произвольны. В этом случае _ _

х~ = 1Лх[§§§§§§§§]уп2п = 1Х

и аналогично

ЬХ              ЬХ

у-г- = гпХ и z-r— = пХ J оу              oz

Следовательно, равенство (3) принимает вид

(/ + т + п)Х — X              ,

для всех значений х, у и z. Но это предполагает, что (/ + т + п) = 1. X — однородная

функция первой степени, так как сумма показателей степени выраженияgt;1хУп2" равна

единице.