Модель сбережений на протяжении жизненного цикла

Как и в Лекции 3, индивидуум потребляет c? в первый период и с2 во второй период своей жизни; при этом он связан бюджетным ограничением

c2 = (w-c,)(l+/).              (8-36)

Нам нужно тщательно идентифицировать различные поколения.

А rtM) — w„ - с, (w„, г,*,).              (8-37)

Предполагается, что все индивидуумы идентичны и (на данной стадии) ни у кого нет облигаций. Для простоты мы абстрагируемся от обесценения и технического прогресса. Следовательно, общая

ззо

величина капитала, имеющаяся на период и + 1, — это сбережения предшествующего поколения рабочих[114]:

Ah-і ~ -4// (^«gt; g+i) А

или [поскольку население, по предположению, растет темпом (1+ «)],

к

**'              1              + л              (8-38)

Можно отметить, что сбережения зависят от ожиданий относительно процентной ставки следующего периода.

Мы начинаем с описания поведения в устойчивом состоянии. Из (8-37) и (8-38) имеем

с, = w-(l + n)k              (8-39а)

и

с2 = (\+г)(\+п)к              (8-39Ь)

и изменяя к, мы можем вычертить возможные уровни потребления в устойчивом состоянии. Кривая имеет наклон, выражающийся уравнением

dc2 dCj/dk (1 + п) [(1 + г) - (- к/')] dcx дсх/дк              - kf" - (1 + п)

которое мы можем переписать, используя определение эластичности замещения

de2              l + r-ar/g

dcx 1 - (ar/cf)/(l + n)              (8-40)

Эта кривая не обязательно должна иметь отрицательный наклон. Там, где, например, выполняется условие

1 + п lt; ar/lt;5lt; 1 + г,              (8-41)

кривая имеет положительный наклон.

В условиях конкурентного равновесия предельная норма замещения между с, и с2 для индивидуума должна быть равной (1 + г). Через каждую точку на кривой с, с2 на рис. 8-3 мы можем провести линию с наклоном (1 + г), учитывая, что г снижается по мере того, как мы движемся вверх по кривой. Для конкурентного равновесия эта линия должна быть касательной к индивидуальной кривой безразличия. Может случиться, что кривая безразличия касается графика с, с2 в точке G (точке «золотого правила»), но чаще всего следует ожидать, что ситуация будет такой, какой она изображена в точке Р на рис.

8. 3, где гфп (как видно, там гgt;п). Переписывая (8-38), мы получаем в устойчивом состоянии

rkl + n 1 - а 1 + я

~ w s ~ а 5 ’              (8-42)

где s — склонность к сбережению (A/w). Это может привести к тому, что величина г будет больше или меньше п (Даймонд [Diamond, 1965, с. 1135]).

Будет ли подобное устойчивое состояние локально постоянным, зависит от предпосылки, касающейся ожиданий. Предположим, что ожидаемая норма дохода записывается в виде л (к^, ки). Дифференцируем (8-38)

ш-1

1 +п-А

dk..

=А ё^+А iu

'“Зк.. 'дк'

Рис. 8-3. Равновесие модели жизненного цикла.

Для локальной стабильности нам нужно, чтобы dk^x/ dku lt; 1. Если индивидуумы отличаются совершенным предвидением, тогда к = г(к1Н.х) и необходимо, чтобы соблюдалось следующее неравенство, полученное для устойчивого состояния (предполагается, что коэффициент dku+x / dku положителен (см.

і              л              дг              л              Л

(8-43)

х + п-А'Тк-^Ткgt;й

(Вопрос к читателю: в чем различие, если индивидуумы отличаются статическими ожиданиями, так что я = г (А:,,)?)

Сфера действия налогообложения

Введем теперь рассмотренный выше налог на капитальный доход, а также единовременные трансферты Тх и Т2 двум поколениям (соответственно, рабочих* и пенсионеров). Тогда индивидуальное бюджетное ограничение будет выглядеть так

ззз

где r= (1 - tc) f\k), а кривая с, c2 будет задана уравнениями:

с, = w- (1 + п) к+ Tv

(8-45)

c2^[\+f,(\-tc)](\+n)k+T2.

Предположим вначале, что мы рассматриваем случай, когда поступления от налога на капитал используются для выплаты единовременных трансфертов более пожилому поколению, т.е. Т2 = tefX 1 + п) к. Из (8-45) можно видеть, что для данной величины к налоговый параметр исчезает, так что кривая не меняется. С другой стороны, посленалоговая ставка процента, соответствующая данному к, сокращается на величину налога, так что прежнего равновесия уже нет. Чтобы понять, что может случиться, рассмотрим случай с производственной функцией Кобба—Дугласа, показанный на рис. 8-4 (здесь те же цифры, что и прежде, а до налоговое равновесие характеризуется точкой Р). При данном к посленалоговый доход снижается, так что наклон бюджетной линии поворачивается в сторону пунктирной линии. Довольно незначительных обстоятельств достаточно, чтобы исключить рост к в результате ввода налога. Предположим, что новое равновесие устанавливается в точке Р'. В этой точке /'(к) меньше, чем f'(kp), а бюджетная линия благодаря налогу становится менее наклонной. Кривая безразличия, проходящая через точку Р* должна поэтому иметь меньший наклон, чем в точке Р. Достаточное условие, для того чтобы исключить подобную ситуацию, это, например, признать, что потребление — нормальный товар.

Влияние налога можно исследовать более полно, если исполь»- зовать условие устойчивого состояния

(8-46)

(1 + «) k = A(w, г, Тх, Т2),

где w — функция от к, а г — функция от tc и к. Дифференцируем полностью

Рис. 8-4. Налог на капитальный доход в модели жизненного цикла.

Если выдерживается условие локальной стабильности (8-43), коэффициент dk положителен. Чтобы понять значение правой стороны этого равенства, используем обозначения, введенные в Лекции 3:

BA ВА              Эс,

~Г/ = Т~= 1 -ТТ}= 1 -(1 -5) л,

дТ' дК              Ш              (8-48)

где М означает существующую величину дохода (богатства), включая трансферты, в первый период; rj — эластичность с, по М; оцениваем при Т2 = 0. Равным образом,

дА              п ^              1

— = -(1 -S)4P, где р = т—

dT?              '+Г              (8-49)

дА .Slog с,

Тг.=рсgt;              =рс'3 (lt;тв “ пgt;'

Э г              diogp              (8              50)

где в ходе второго шага в уравнении (8-50) используется уравнение (3-10) из Лекции 3, a — эластичность замещения в потреблении С\ и с2.

Мы рассмотрим сначала случай, когда доходы от налога на процент используются для финансирования единовременных трансфертов в пользу более старого поколения (как на рис. 8-4), учитывая, что tc = Т2 = 0. Условие поступления в бюджет предполагает, что

dT2 = к (\ + n)f'dtc.              (8-51)

Подставляя это равенство в правую часть уравнения (8-47) и используя (8-49) и (8-50), можно увидеть, что это выражение пропорционально величине - oD dtc. Условие локальной стабильности (8-43), следовательно, предполагает, что отношение капитал/труд сокращается там, где строго положительна эластичность замещения с, и с2.

Там, где бюджетное поступление передается целиком первому поколению, результаты будут иными. Вновь возьмем бесконечно малую величину налога из уравнения, характеризующего ограничение бюджетного поступления

dT{ =f'kdtc.              (8-52)

Мы видим, что правая часть уравнения (8-47) пропорциональна [если использовать (8-48) и (8-50)] следующему выражению

А+п s (П - tfn) і +1              + (1 - Л).

DA + г 1-5              (8-53)

Если, к примеру, функция полезности имеет форму Кобба- Дугласа (lt;7д = г) = 1), то выражение (8-53) явно положительно. Налог на капитал, используемый для трансфертов более молодому поколению, повышает к [там, где выдерживается условие локальной стабильности (8-43)]. В противоположность перераспределительному налогу на капитал, рассмотренному в разделе 8-3, косвенные эффекты усиливают этот трансферт. Это может показаться неожиданным. Однако модель сбережений на протяжении жизненного цикла представляет собой полярную противоположность случаю с чисто классическими сбережениями. Там класс капиталистов имел более высокую склонность к сбережениям, и трансферы в пользу тех, кто получает зарплату, сокращали норму накопления. Здесь же поколение, получающее зарплату, представляет собой единственных сберегателей, и трансферты этому же поколению повышают сбережения.