Простая модель жизненного цикла

Индивидуум живет на протяжении двух периодов: в первом из которых он получает заработную плату w, а во втором он выходит на пенсию. Он сберегает часть своей заработной платы, чтобы во втором периоде обеспечить свое потребление; сбережения дают постоянный процент г.

С,+Т+7 = Н'’              (3-5)

что проиллюстрировано на рис. З-la. Индивидуум распределяет потребление таким образом, чтобы максимизировать жизненную полезность в течение жизни U(CU С2). Кривые безразличия и точка выбора Р отмечены на рисунке.

Поведение модели может быть проанализировано на основе эффектов замещения и богатства. Аналогия с подходом в отношении предложения труда, ясно видна, если мы наблюдаем, что 1/(1 +ґ)(=р) является «ценой» потребления во втором периоде. Теперь мы можем записать уравнения Слуцкого[31]

где М — богатство в течение жизни (здесь равно w). Увеличение р (сокращение ставки процента) ведет к увеличению потребления в первый период через эффект замещения (в двухтоварной модели перекрестные воздействия положительны), но к снижению через эффект богатства, поскольку индивидуум является чистым кредитором и, следовательно, он испытывает ущерб (ЭС/ЭЛ/gt;0 по предположению). Поэтому чистый эффект неоднозначен. С другой стороны, для С2, учитывая нормальные условия, оба эффекта (богатства и замещения) действуют в направлении сокращения потребления.

На рис. 3-1а,б эффект замещения от повышения р представлен сдвигом Q-*P’ и зависит от степени кривизны кривой безразличия. Удобно для его характеристики в параметрах эластичности замещения записать

?log(C2/C,) і а =——————

(3-7)

?log(l + r) I и’

Это процентное изменение в соотношении С2/С,, по мере того как (1+ г) — наклон кривой бюджетного ограничения — изменяется вдоль кривой безразличия. Таким образом, рис.

В этой модели мы можем получить простое выражение, относящее эффект потребления в первый период к эластичности потребления по богатству и эластичности замещения.

(б)

Потребление в период 1 W (а)

Рис. 3-1. Эффект снизившейся ставки процента на распределение потребления: а) нулевая эластичность замещения; б) высокая эластичность замещения.

Подставляя в уравнение (3-7) и используя определение р = — 1/(1+г), получаем

ЭС\ і ^ ЭС2 I эlog/? 1^ +РЪ\щр\ъ~ '              (3-8)

Э log С, Э log/7

Отсюда, производя замену в (3-7а)

рСг

О = SO,

U Сх+рС2 ’              (3-9)

где 5 — уровень сбережений. Подставляя в (3-ба), получаем

Э log С,

aiogp -5(а-Т1)’              (3-10)

где т| — эластичность потребления по богатству в первый период (М/СудСудМ).

Увеличение сбережений с чистым уровнем отдачи или их сокращение зависит, следовательно, от относительных величин эластичности замещения и эластичности потребления по богатству. Таким образом, если кривые безразличия являются подобно расположенными, так что ц = 1, то эффект зависит просто от того, насколько эластичность замещения между предшествующим потреблением и последующим больше или меньше единицы. В случае Кобба—Дугласа с U- a log Сх + (1 - a) log С2, потребление первого периода не зависит от ставки процента, поскольку с = т| = 1. Это означает, что расходы на потребление во второй период (рС2) постоянны, как мы и ожидали бы для функции Кобба—Дугласа.

Упражнение 3-1.

?/Ы/а= СМ/а+ С1-1/а              (3_П)

Докажите, что потребительский выбор, максимизирующий полезность, будет записываться

С, = w/[l + (1 + г)0-1]              (3-11а)

С2 = (1 + г)а С,.              (3-1 lb)

Охарактеризуйте свойства этой функции потребления и найдите эластичность сбережений по проценту.

Упражнение 3-2. Функция полезности U определена следующим образом (Со — константа)

U= a log (С, - С0) + (1 - a) log (С2 - С0).

Каким образом осуществляется потребительский выбор, максимизирующий полезность? Этот пример представляет собой простой случай, характерный для расширенной линейной системы расходов Ллюч и др. [Lluch et al., 1977].

Мы можем получить эластичность потребления по отношению к ставке процента

_ Э log Сх _ rs .

Є 91ogr (1 + r) а              (3-10a)

и эластичность сбережений в зависимости от ставки процента

е’ = т^(1(моб)

Чтобы проиллюстрировать возможные количественные оценки, допустим rj = l, s = j и г = |[32]. Тогда при о = 2, є* = 0,27 и при

а = 4, є* = 0,8. Это требует, следовательно, существенной эластичности замещения, чтобы вызвать заметную положительную эластичность сбережений по проценту.

Эффекты налогообложения

Пропорциональный налог на расходы, или идентичный ему налог на заработную плату сдвигает кривую бюджетных ограничений внутрь на позицию, параллельную предналоговому ограничению. Налог вызывает чистый эффект богатства.

Различие между налогообложением расходов и налогообложением доходов состоит в налогообложении дохода от процента, и это как раз то, на чем мы сосредоточиваемся. Пропорциональный налог i? на доход от процента «качает» линии бюджетного ограничения вокруг точки, где богатство далее не может увеличиваться (рис. 3-1) и этот эффект может быть рассмотрен с позиций использованного нами ранее анализа. Теперь процент после выплат налога составляет r(l-t) и, следовательно,

1

Р \+r{\-ty              (3-12)

«Цена» потребления во второй период, следовательно, увеличивается со ставкой процента для фиксированного г.

Комбинируя налог на доход от процента с налогом на заработную плату при ставке tw, мы видим, что сбережения

(l-Ow-С,-

• ЭС,'

э м

Изменение В сбережениях В ответ на изменения в ti и tw является

- wdt,

дс1 др

- -V at.

др 1              (3-13)

Предположим, что относительные ставки налогов являются одновременно положительными и такими, что (1 - /,) / (1 - Q остается неизменным при изменениях ставки налога. Это удовлетворяет условиям налога на доход (t? = tj и особой форме налога на доход от капиталовложений. Разделив уравнение (3-13) на di?/({ - Г/), эквивалентное dtw/( 1 - iw), получаем, что изменение в сбережениях в ответ на рост налогов является отрицательным, если [отмечая, что М= w (1 ~ /J]:

(1-у»

+ 5(а-л) С, (1 -р)gt;0 ,

из

где мы заменили уравнение (3-10) и использовали тот факт, что dp/dti = гр2.

Разделив на w (1 - tw) и переставив

50(1 - р) + ~— gt; Т) [1+5(1 -р)\.

к              1—5              11              уп              (3-15)

Это показывает, как ответ сбережений на подоходный налог

зависит от эластичности потребления в первый период по

богатству (г|), эластичности замещения (а), нормы сбережений (s)

и цены потребления во второй период. Где функция полезности

является функцией Кобба-Дугласа, а = т| = 1, сбережения

сокраща-ются (для 5 gt; 0). В экстремальном случае (при отсутствии

заме-щения), когда а = 0, величина сбережений может расти, но

только, если эластичность потребления в первый период по

богатству достаточно велика [больше, чем величина 1/(1 -5*) при

р = 0]. При а gt; 0 необходимая эластичность богатства (wealth) будет

1              1              7

соответственно выше. Например, = ^, 5 = -, р = - означает, что

величина сбережений сокращается до тех пор, пока х\ gt; 1,4.

Распространение анализа на случай с прогрессивным налогом мы оставляем читателю. Однако мы должны заметить значение того факта, что подоходный налог обычно распространяется на денежную ( номинальную. — Прим. ред.), а не на реальную отдачу от сбережений. Если г — реальная отдача и р — темп инфляции, то цена потребления во второй период становится

1

Р 1+г(1-4)-/,р '              (3-16)

Теперь производная равна dp/Bt?= (/¦+ р) р2.

При макроэкономическом подходе это воздействие не так велико на индивидуальные сбережения как на совокупные что имеет решающее значение. Всегда, когда имеется значительное воздействие на совокупные сбережения, предположение о постоянной заработной плате и ставке процента (до уплаты налога) ставится под сомнение, но исследование может рассматриваться как анализ, связанный с первоначальным эффектом. Картина полного общего равновесия рассматривается в Лекции 8. Предположим все индивидуумы данного возраста идентичны. Тогда совокупное потребление в простой модели пропорционально

С=С, + С2/(1+ п),              (3-17)

где п — темп роста населения. Таким образом,

dC=dCx + dC^/il+ri).              (3-18)

Но мы знаем из индивидуального бюджетного ограничения, что

dC{ + pdC2 = - wdtw -С2^~ dt,

dt?              (3-18a)

Тогда, используя определение р, получаем 1 1

1 + п 1 + /* (1 —

dC =

dc2-wdt.-q^dtr

(3-19)

Поскольку dp/dtj gt; 0, увеличение налога означает, что второй и третий члены в правой части уравнения отрицательны. Более того, если С2 — нормальный товар, то эффект дохода и эффект замещения означают, что более высокие налоги сокращают С2. Из этого следует, что если член уравнения в квадратных скобках положителен, то налоги сокращают совокупное потребление. Условием для положительного знака у выражения в квадратных скобках является то, что норма прибыли после уплаты налога должна превышать темп роста.

Воздействие на совокупное потребление может быть проиллюстрировано функцией полезности с постоянной эластичностью (упражнение 3-1). Из уравнений (3-11а) и (3-116) следует, что совокупное потребление (без учета налога) равно в этом случае

~?_ w П + U + б / (1 + Л)]

[1 + (1 + г)°/(1 + '•)]’              (3-20)

(Когда индивидуумы различаются по w, но идентичны во всем остальном, мы можем заменить w на среднее w.) Совокупная склонность к потреблению без учета некапитальных доходов является функцией ставки процента (она равна 1 при г-п). Это отношение является связующим звеном с эмпирической работой о совокупном потреблении, обсуждаемой в Разделе 3-4.