Модель структуры портфеля при многосрочных сбережениях

В модели, которую мы до сих пор исследовали, функция полезности вводилась через итоговое богатство, а не через доход или потребление. Мы неявно полагали, что цель сбережений состоит в будущем потреблении.

Предположим, что потребитель живет вечно. Это опять же экстремальный случай, выбранный лишь для математической простоты; более реалистичен случай, когда человек живет в течение достаточно большого, но не бесконечного числа временных интервалов, которые можно исследовать подобным образом. Он максимизирует сумму полезности, извлекаемой из потребления, дисконтированную со ставкой 8. Предположим, что функция полезности обладает постоянной эластичностью, т.е. имеет вид

С1_с

?7(0= 7—.

1*е              (4-33)

Из прямой бюджетного ограничения с учетом как подоходного, так и имущественного налогов

Ли = Д, \ [1 + г (1 -1) + а (1 -1,) (х -              ґ)]              (1 -              О,              (4-34)

где S„ — доля чистого богатства, накопленного              в              сбережениях во

время и (снова хgt; -1), и

с,, = (1 -su)Au(l -tw).              4-35)

Пусть Хи (Д,) означает максимальное значение дисконтированной ожидаемой полезности, которую индивидуум может получить от богатства Аи во время и.

X (Д) = max I U[(l - s,) А„ (1 - Q] +              max Е% (Д*,)

(4-36)

где А,н1 задано в (4-34). Уровень полезности равен той полезности, которую мы получаем непосредственно от потребления плюс полезность от потребления в будущем; но последняя представляет собой функцию лишь от величины богатства на начало следующего периода, дисконтированную величиной (1+ б). Если нам известна функция х, мы можем немедленно сделать вывод об оптимальном значении а и, таким образом, о действии налогообложения на желание рисковать. Следовательно, необходимо найти функцию хgt; которая удовлетворяла бы условию (4-36). (Формально это условие можно трактовать, как функциональное уравнение.) К счастью, для случая функции полезности с постоянной эластичностью % можно найти простым способом. Будем искать % в виде:

1-е

х =

кА 1 - є*

Покажем теперь, что существует значение параметра к, для которого в точности выполняется (4-36). Непосредственной подстановкой, используя частный вид функции полезности (4-33), находим

(

1-€

1-е

кА

= шах

1 - є

ZI к» - У (1 - о +ТТ51[*. д - У!1- ^

кА

(4-37)

где

1-е

1 - є

(4-38)

у s max Е

Отсюда можно увидеть, что портфельные решения можно отделить от решений о сбережениях и что а выбирается с целью максимизации нормы прибыли в степени (1-е), с учетом отторжения риска.

Предшествовавшее исследование для модели с одним периодом можно применять непосредственно.

Значение к и оптимальную политику сбережений можно вывести из (4-37). Разделим все части на Д1/ и положим Т- (1 - д1-е, тогда

= max

1 -є

(4-39)

„(і-зГ kiy jHt Т 1-е +1+8*“

_ку_ 1 + 6

Условие первого порядка для выбора su после деления на Т запишется в виде

i^(l-8) = 0.

Отсюда в силу (4-39)

к- Т(\ -s)~* и / = (1 - е) 7Jgt;/(1 + S).              (4-40)

Итак, мы нашли значение к, удовлетворяющее уравнению, и показали, что политика сбережений зависит от степени отторжения риска (є), дохода от портфеля (у), имущественного налога (7) и учетной ставки !9.

Упражнение 4-5. Как зависит норма сбережений s в только что описанной модели от изменений

1. в ставке имущественного налога tw\
2. в ставке подоходного налога tp

Что произойдет, если функция полезности задается в виде функции Кобба-Дугласа? [59]

Приведенный выше анализ решений о сбережениях/портфеле имел лишь эвристическое значение (приводился для демострации. — Прим. ред.)\ более строгое изложение можно найти в книгах (Ливари и Шринивасана [Levhary and Srinivasan, 1969], Хэканссона [Hakansson, 1970)], Ротшильда и Стиглица [Rothschild and Stiglitz, 1917]). Целью модели было противопоставить два полярных случая, в одном из которых частные лица делают сбережения в течение бесконечного числа периодов, а в другом — только в течение одного периода времени (этот случай занимает основное место в данной лекции). Следует заметить, что для случая с постоянным показателем относительного отторжения риска (функция полезности с постоянной эластичностью) портфельное решение не отличается по виду. В более общих случаях будет наблюдаться связь между решениями о сбережениях и портфельными решениями (см. Сандмо [Sandmo, 1969], Дрэзе и Модильяни [Dreze and Modigliani, 1972]).