5.2.5Оптимальный рост в модели

Оптимальный с точки зрения благосостояния всего общества рост можно получить путем максимизации полезности социальным планером, действующим в интересах общества в целом, по отношению к заданным ограничениям инвестиций в физический капитал, ограничению сектора технического прогресса и ограничению распределения труда.

°° ^1-9

max J——e~9'dt (5-29) 01 — 9

относительно

k = Y-C = KaALx~aN'-a-C, (5-30)

N = bLRN, (5-31)

LY+LRK0,N0 даны.

Функцию Гамильтона для динамической задачи можно записать следующим образом:

J = +4Y-C) + \ibLR +l{Ly + LR-L). (5-33)

1 — U

Условия максимума первого порядка для данной задачи, где управляющими параметрами выступают потребление и объемы труда в секторах экономики (С, LY, LR), а фазовыми координатами — физический капитал и количество типов промежуточных продуктов (К, N), очевидно, следующее:

(5-34)

(5-35)

(5-36)

(5-37)

а/

(5-38)

Соответственно условия решения задачи максимизации будут сле-дующими:

(5-39) (5-40) (5-41)

(5-42) (5-43)

СЛгр'=?1, X(l-a )Y/Ly=-%, IxbN = XaY/K = -X, X(l-a)Y/N + [ibLR =-(1.

Из уравнений (5-40) и (5-42) можно получить условия решения задачи Рамсея, выразив через предельный продукт физический капитал (константа, поскольку объем труда в секторах может быть только постоянным при устойчивом росте, а остальные величины также постоянны):

(5-44)

gop,=gc=^ = kaY/K-p).

Из уравнений (5-40) и (5-41) очевидно, что темпы прироста сопряженных переменных и ц равны, поскольку объем труда в секто-ре конечной продукции может быть только постоянным при устойчивом росте, а темпы прироста выпуска и технического прогресса всегда равны.

Из этих же уравнений находим и отношение сопряженных пере-менных X и (х:

Х Ш (5-45)

[L (1-а )Y/Lr

Преобразуя уравнение (5-45), получаем:

-(\-a)Y/N + bLR (5-46)

Подставив в (5-46) отношение сопряженных переменных X и |Х, получим:

/, ШЛу/Т (1~«)Y/N + bLR (5-47)

(1-а )Y/Ly Д

bLY+bLR=(5-48) V-

Поскольку темпы прироста сопряженных X и |Х равны, а из (5-42) следует, что темп прироста сопряженной переменной X со знаком минус равен предельному продукту физического капитала, можно заменить последний в уравнении (5-44):

Sop, = ^(bLr+bLx -р)= q(^-P)- (5-49)

Очевидно, что полученная величина оптимальна с точки зрения общества больше, чем ранее выведенное выражение для равновесного устойчивого экономического роста.

Различие заключается, во-первых, в отсутствии в выражении отдачи коэффициента а, поскольку общество учитывает не только объем монопольной прибыли, но и весь объем выпуска. Во-вторых, учитывается отдача всего труда, а не только того, который определяет монопольную прибыль.